Wurzeln

Eine Wiederholung der Wurzeln:

Wurzelgesetze

Wurzeln können nur von Zahlen größer oder gleich null gezogen werden

Die Wurzel aus negativen Zahlen ist nicht definiert.

ACHTUNG bei quadratischen Gleichungen

Ein Beispiel:

$x^{2}=16|\surd$

$x={\sqrt {16}}=4$

ABER $-4^{2}$ergibt auch 16!(<- Das ist keine Fakultät:D) Die quadratische Gleichung - beziehungsweise alle Gleichungen mit gerader Hochzahl - hat also, sobald eine Wurzel im Spiel ist, 2 Lösungen (eben $x_{1}=4$ und $x_{2}=-4$).

Teilweises Wurzelziehen

Bezeichnet das "Zerlegen" von Zahlen innerhalb von Wurzeln, um die Wurzel (teilweise) lösen zu können:

${\sqrt {18}}={\sqrt {9*2}}={\sqrt {9}}*{\sqrt {2}}=3*{\sqrt {2}}$

${\sqrt {500}}={\sqrt {5*100}}=10*{\sqrt {5}}$

Das Ganze mit Brüchen:

${\sqrt {\frac {8}{9}}}={\sqrt {\frac {2*4}{9}}}$ -> Das Ziel ist im Zähler und im Nenner jeweils eine Quadratzahl zu haben (hier 4 und 9). Jetzt können wir aus denen die Wurzel ziehen und sie nach außen schreiben (bitte an die richtige Stelle im Bruch!). Da wir aus der 4 und der 9 schon die Wurzeln gezogen haben, werden diese jeweils durch 1 ersetzt, d.h. hier bleibt nur 2 in der Wurzel übrig:

$={\frac {2}{3}}*{\sqrt {2}}$

Wie wärs mal mit einer schwierigeren Zahl?:

${\sqrt {243}}$

Zum Zerlegen erst mal fragen: Ist die Zahl durch 2 teilbar? Nein. Ist sie dann vielleicht durch 3 teilbar (eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist)?

2+4+3 = 9 -> Ja

Also: 243:3 = 240:3 + 3:3 = 80 +1 = 81

--> = ${\sqrt {3*81}}$

81 ist passenderweise eine Quadratzahl, wir können also die Wurzel ziehen und sie "ausklammern":

$=9*{\sqrt {3}}$

Umgekehrt funktioniert das Ganze genauso: Man kann Zahlen außerhalb von Wurzeln quadrieren und sie anschließend mit dem Wurzelzeichen versehen, um sie in die Wurzel hineinzubekommen:

$5*{\sqrt {3}}={\sqrt {25}}*{\sqrt {3}}={\sqrt {75}}$

Wurzel-Nenner rationalisieren

${\frac {5}{\sqrt {10}}}$

Aufgabe: Nenner rational machen. Vorgehensweise: Mit Nenner erweitern!

$={\frac {5}{\sqrt {10}}}*{\frac {\sqrt {10}}{\sqrt {10}}}$ -> Zwei Möglichkeiten, den Nenner zu berechnen: 1. ${\sqrt {10}}*{\sqrt {10}}=({\sqrt {10}})^{2}=10$ ; oder 2. ${\sqrt {10}}*{\sqrt {10}}={\sqrt {100}}=10$

$={\frac {5*{\sqrt {10}}}{10}}$ -> Mit 5 kürzen!

$={\frac {\sqrt {10}}{2}}$

Verschachtelte Wurzeln auflösen

${\sqrt {a*{\sqrt[{3}]{a*{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}}}}$

Lösung: Wurzeln nacheinander in Brüche umwandeln!

$={\sqrt {a*{\sqrt[{3}]{a*a^{\frac {2}{3}}}}}}={\sqrt {a*{\sqrt[{3}]{a^{\frac {3}{3}}*a^{\frac {2}{3}}}}}}={\sqrt {a*{\sqrt[{3}]{a^{\frac {5}{3}}}}}}$ -> 3. Wurzel auflösen = Potenz durch 3 teilen = mit Kehrwert (1/3) multiplizieren

$={\sqrt {a*a^{{\frac {5}{3}}*{\frac {1}{3}}}}}={\sqrt {a*a^{\frac {5}{9}}}}={\sqrt {a^{\frac {9}{9}}*a^{\frac {5}{9}}}}={\sqrt {a^{\frac {14}{9}}}}$

$=a^{{\frac {14}{9}}*{\frac {1}{2}}}=a^{\frac {14}{18}}=a^{\frac {7}{9}}={\sqrt[{9}]{a^{7}}}$ -> Letzte Wurzel auflösen, Ergebnis-Bruch kürzen und wieder in Wurzelform bringen.

Beispielaufgaben

Erste Aufgabe

${\sqrt {\frac {75}{42}}}$

$={\sqrt {\frac {3*25}{2*21}}}={\sqrt {\frac {3*25}{2*3*7}}}$ -> 3 kann gekürzt werden, 25 ist eine Quadratzahl

$={\frac {5}{1}}*{\sqrt {\frac {1}{14}}}$

Zweite Aufgabe

$(3p{\sqrt {x}}-4x{\sqrt {p}})^{2}$

Zweite binomische Formel!

$=(3p{\sqrt {x}})^{2}-2*3p{\sqrt {x}}*4x{\sqrt {p}}+(4x{\sqrt {p}})^{2}$

$=9p^{2}x-24*p*{\sqrt {x}}*x*{\sqrt {p}}+16x^{2}p$

Dritte Aufgabe

${\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}-1}}-2$

Mit Zähler erweitern -> im Nenner 3 binomische Formel herstellen!

$={\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}-1}}-2={\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}-1}}*{\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}+1}}-2$

$={\frac {{\sqrt {3}}+1}{({\sqrt {3}}-1)}}*{\frac {{\sqrt {3}}+1}{({\sqrt {3}}+1)}}-2$

$={\frac {({\sqrt {3}}+1)^{2}}{3-1}}-2={\frac {({\sqrt {3}}+1)^{2}}{2}}-2$ -> Erste binomische Formel im Zähler!

$={\frac {({\sqrt {3}})^{2}+2*{\sqrt {3}}*1+1^{2}}{2}}-2={\frac {3+2*{\sqrt {3}}+1}{2}}-2={\frac {4+2{\sqrt {3}}}{2}}-2$ -> Dran denken: Man kann Brüche mit Summen auseinanderziehen!

$={\frac {4}{2}}*{\frac {2*{\sqrt {3}}}{2}}-2=2*{\sqrt {3}}-2={\sqrt {3}}$

Nachschlagewerke

• Wurzeln - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=5lGpyhWD8sw
• Teilweises Wurzelziehen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=tRqteBSL5cs
• Wurzel in Wurzel auflösen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=iagg-Okjjzo
• Wurzel im Nenner rationalisieren - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=GKMG6bErYfk
• Binomische Formeln mit Wurzeln - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=Qphp9gqYXR8
• Brüche mit Wurzeln vereinfachen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=AXxiSq9SEhI
• Wurzelterme vereinfachen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=bcf_m4q1ub0
• Schriftliches Wurzelziehen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=RQlnMPpLQFk
• Teilweises Wurzelziehen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=t29WEfzbptE
• Teilweises Wurzelziehen mit Brüchen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=s3-cqGfNQjY
• Klammern mit Wurzeln, Distributivgesetz - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=U9PYdp-QJuA