Umkehrfunktionen

Was sind eigentlich Umkehrfunktionen?

Wichtig zu Anfang: Eine Umkehrfunktion existiert nur dann, wenn die Funktion bijektiv ist!

Durchführung

Wie geht man vor?

Zuerst gilt Folgendes: Wir setzen die gegebene Funktion "= y".

Wenn wir also folgende Funktion haben:

$f(x)=(x+2)^{2}$

lautet die Gleichung zu Beginn unserer Rechnung:

$y=(x+2)^{2}$

Jetzt lösen wir - wie gehabt - nach x auf:

$y=(x+2)^{2}|{\sqrt {(}})$

${\sqrt {(}}y)=x+2|-2$

${\sqrt {y}}-2=x$

Sobald wir das x "isoliert" haben gilt es einen sogenannten Variablentausch durchzuführen (dann können wir die Umkehrfunktion in das gleiche Schaubild wie die Originalfunktion zeichnen).

In der Praxis tauschen wir dabei die Position aller y mit x aus und umgekehrt. Dies geschieht unter der vollendeten Nicht-Berücksichtigung von Vorzeichen, Faktoren, etc.:

${\sqrt {x}}-2=y$

Damit haben wir unsere Umkehrfunktion:D

Erwähnenswert ist vielleicht noch:

Der Definitionsbereich D der originalen Funktion ist jetzt der Wertebereich W der Umkehrfunktion und umgekehrt.

Beispielaufgaben

Erste Aufgabe:

$y={\frac {2x}{1+x}}$

${\frac {2x}{1+x}}=y|*(1+x)$

$2x=y*(1+x)$ -> Ausmultiplizieren:)

$2x=y+yx|-yx$

$2x-yx=y$ -> Links kann man x ausklammern!

$x*(2-y)=y|:(2-y)$

$x={\frac {y}{2-y}}$

Und noch der Variablentausch:

$y={\frac {x}{2-x}}$

Zweite Aufgabe:

$y=20+e^{3x}$

$y=20+e^{3x}|-20$

$y-20=e^{3x}|ln(...)$

$\ln(y-20)=3x|:3$

${\frac {1}{3}}*\ln(y-20)=x$

Variablentausch:

${\frac {1}{3}}*\ln(x-20)=y$

Nachschlagewerke

• Umkehrfunktionen bestimmen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=X8QDtWIWu6Q
• Umkehrfunktionen Voraussetzungen und Berechnung - MathePeter: https://www.youtube.com/watch?v=KiIcbIrmjWg
• Voraussetzungen für Umkehrfunktionen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=tUUHFqmENvg
• Umkehrfunktionen: Achtung bei x^2 - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=AszdBZugcdo