Zinsberechnung

Wie kann man Kapital, Zinssätze, Laufzeiten etc. berechnen?

(Alternative Zinsformeln).

Grundlegende Variablen

Starten wir mit dem Handwerkszeug:

K₀ = Anfangskapital

t = Laufzeit (in Jahren)

K_t = Endkapital (Kapital verzinst über einen Zeitraum von t Jahren).

r = Zinssatz (in Prozent)

Je nach Zinsberechnungsmethode können noch weitere Variablen hinzukommen, dazu aber später mehr.

Einfache Verzinsung

Soll heißen: Zinszahlungen einmal pro Jahr ohne Zinseszins.

Normalform

Grundlegende Berechnungsformel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_t = K_0+r*t*K_0}

Alternativ: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_t=(1+r*t)*K_0}

Beispielaufgabe:

Auf wieviel wachsen 5.000 Euro bei einem Zinssatz von 6 Prozent und einer Laufzeit von dreieinhalb Jahren an?

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_{3,5} = (1+5%*3,5) * 5000 = (1+0,05*3,5)*5000 = 18375}

A: Auf 18.375 Euro.

Umstellung nach Zinssatz

Wenn man den Zinssatz berechnen soll.

Beispiel: Aus 3.000 Euro werden in 3 Jahren 4.150 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?

In die Formel eingesetzt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4150 = (1+r*3)*3000}

Jetzt heißt es nach r umstellen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4150 = (1+r*3)*3000} | :3000

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{4150}{3000} = (1+r*3)} | -1

${\frac {4150}{3000}}-1=r*3$ | :3 / *1/3

${\frac {1}{3}}*({\frac {4150}{3000}}-1)=r=0,1278=12,78\%$

Die umgestellte Formel lautet also:

$r={\frac {1}{t}}*({\frac {K_{t}}{K_{0}}}-1)$

Alternativ funktioniert aber auch Folgendes:

$r={\frac {K_{t}-K_{0}}{K_{0}*t}}$

Beweis gefällig?:

$r={\frac {4150-3000}{3000*3}}={\frac {1150}{9000}}=0,127777=12,78\%$

Exponentielle Verzinsung

Auf Deutsch: Jährliche Verzinsung mit Zinseszins.

Normalform

Basisformel: $K_{t}=(1+r)^{t}*K_{0}$

Beispiel:

Auf wieviel wachsen 5.000 Euro bei einem Zinssatz von 5 Prozent und einer Laufzeit von eineinhalb Jahren an?

$K_{1,5}=(1+,05)^{1,5}*5000=5379,65$

A: Auf 5379,65 Euro.

Umstellung nach Zinssatz

Beispiel: Aus 8.000 Euro werden in 3 Jahren 9.261,32 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?

In die Formel eingesetzt: $9261,32=(1+r)^{3}*8000$

Also wieder umstellen:

$9261,32=(1+r)^{3}*8000$ | :8000

${\frac {9261,32}{8000}}=(1+r)^{3}|{\sqrt[{3}]{}}$

${\sqrt[{3}]{\frac {9261,32}{8000}}}=(1+r)$ | -1

${\sqrt[{3}]{\frac {9261,32}{8000}}}-1=r={\sqrt[{3}]{1,15774}}-1=0,05=5\%$

Die umgestellte Formel lautet also:

$r={\sqrt[{t}]{\frac {K_{t}}{K_{0}}}}-1$

Unterjährige Verzinsung

Exponentielle Verzinsung, nur mit mehreren Auszahlungen pro Jahr.

Hier kommt - wie schon angedroht - eine neue Variable ins Spiel:

m = Anzahl der Zinszahlungen pro Jahr (z. B. m=2 für halbjährlich, m=4 für vierteljährlich, m=12 für monatlich)

Normalform

Basisformel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_t=(1+\frac{r}{m})^{m*t}*K_0}

Beispiel:

10.000 Euro werden zu einem Zinssatz von 6 Prozent für 2 Jahre angelegt, wobei die Zinsen monatlich berechnet werden. Wie hoch ist das Endkapital?

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_2= (1+\frac{0,06}{12})^{2*12}*10000 = (1+0,005)^{24} * 10000 = 1,12749*10000 =11274,90}

A: 11274,90 Euro

Umstellung nach Zinssatz

Beispiel: Aus 5.000 Euro werden nach 3 Jahren bei vierteljährlicher Verzinsung 5.960,50 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?

In die Formel eingesetzt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5960,50 = (1+\frac{r}{4})^{4*3}*5000}

Umstellung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5960,50 = (1+\frac{r}{4})^{4*3}*5000} | :5000

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{5960,50}{5000} = (1+\frac{r}{4})^{12} |\sqrt[12]{}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt[12]{\frac{5960,50}{5000}} = 1+\frac{r}{4}} | -1

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt[12]{\frac{5960,50}{5000}}-1 =\frac{r}{4}} | *4

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4* (\sqrt[12]{\frac{5960,50}{5000}} -1) = r = 4*(\sqrt[12]{1,1921}-1)\approx 4*(1,01468-1) = 4*0,01468=0,05872=5,87%}

Die umgestellte Formel lautet also:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = m* (\sqrt[m*t]{\frac{K_t}{K_0}}-1)}

Alternativ funktioniert auch:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = m* \sqrt[m*t]{\frac{K_t}{K_0}} -m}

Stetige Verzinsung

Last but not least, die stetige Verzinsung: Hier werden fortlaufend (zu jedem Zeitpunkt) Zinsen berechnet und hinzuaddiert, weshalb das Ganze eher ein Modell als ein praktisches Konzept ist.

Keine neuen Variablen dieses Mal, e ist die gute alte Eulersche Zahl:)

Normalform

Basisformel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_t = K_0 * e^{r*t}}

Beispiel:

10.000 Euro werden mit 5 Prozent für 3 Jahre stetig verzinst. Wie hoch ist das Endkapital?

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_3= 10000 * e^{0,05*3} = 10000 * 1,161834 \approx11618,34}

A: 11618,34 Euro

Umstellung nach Zinssatz

Beispiel: Aus 8.000 Euro werden nach 2 Jahren bei stetiger Verzinsung 8.664,32 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?

Noch eine Umstellung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8664,32 = 8000*e^{r*2}} | :8000

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{8664,32}{8000} = e^{r*2}} | ln

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ln{(\frac{8664,32}{8000})} = r*2} | :2 / *1/2

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2}*\ln{(\frac{8664,32}{8000})} = r = \frac{\ln{(1,08304)}}{2} = \frac{0,079804}{2} = 0,039902 \approx 0,04 = 4%}

Die umgestellte Formel lautet also:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = \frac{\ln{(\frac{K_t}{K_0})}}{t}}