Binomische Formeln

Kurzer Recap der binomischen Formeln (zum Glück müssen wir die nicht herleiten oder gar beweisen...).

Übersicht Formeln

Erste binomische Formel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}

Zweite binomische Formel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}

Dritte binomische Formel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a+b)*(a-b) = a^2 - b^2}

Einfache Beispiele

Erste binomische Formel

Erstes Beispiel:

Gegeben ist folgender Term (egal ob alleinstehend oder als Teil einer Funktion):

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3x+4)^2} Hier wird also die erste binomische Formel angewandt.

Anhand der Term-Struktur kann man schon ablesen, dass das Ergebnis ungefähr so aussehen wird: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a x^2 + b x + c}

Lösen wir das Ganze also:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3x+4)^2 = (3x)^2 + 2*3x*4 + 4^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 9x^2 + 6x*4 + 16}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 9x^2 + 24x + 16}

Wie man sieht hat sich die anfänglich vermutete Struktur bestätigt.

Zweites Beispiel:

Gegeben ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\frac{1}{2} x + \frac{3}{4} y)^2} -> Vermutetes Aussehen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax^2 + bxy + cy^2}

Auflösung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\frac{1}{2} x + \frac{3}{4} y)^2 = (\frac{1}{2} x)^2 + 2* \frac{1}{2} x* \frac{3}{4} y + (\frac{3}{4} y)^2} --> In der Mitte kann die 2 mit der 2 aus 1/2 gekürzt werden! --> 1 x * 3/4 y

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = (\frac{1}{2})^2*x^2 + \frac{3}{4}x y + (\frac{3}{4})*y^2} --> Bruchrechenregeln nicht vergessen! --> Zähler und Nenner müssen potenziert werden!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{1}{4} x^2 + \frac{3}{4} xy + \frac{9}{16} y^2}

Und wieder hat sich die vermutete Struktur bewahrheitet:)

Zweite binomische Formel

Erstes Beispiel:

Dritte binomische Formel

Erstes Beispiel: