Brüche

Kurze Wiederholung der Brüche:

Grundsätzliches

Rechenregeln

Multiplizieren

Beim Multiplizieren ist das Ganze noch ziemlich einfach: Man rechnet bei 2 Brüchen Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner:

${\frac {a}{b}}*{\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}-->{\frac {1}{2}}*{\frac {3}{4}}={\frac {2}{12}}={\frac {1}{6}}$

Bei Produkten kann man vor dem Ausrechnen auch kürzen:

$-{\frac {7}{20}}*{\frac {2}{7}}=-{\frac {1}{10}}*{\frac {1}{1}}=-{\frac {1}{10}}$

Kann man aber natürlich auch nachher mit dem Ergebnis.

Dividieren

Etwas anders ist das Dividieren. Anstelle 2 Brüche untereinander zu schreiben (würg) können wir den ersten Bruch auch einfach mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren:

${\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}*{\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$

${\frac {3}{4}}/{\frac {5}{6}}={\frac {3}{4}}*{\frac {6}{5}}={\frac {18}{20}}={\frac {9}{10}}$

Kehrwert bedeutet: Wir packen den Zähler in den Nenner und den Nenner in den Zähler.

Auch hier gilt: Nach Möglichkeiten zum Kürzen Ausschau halten!

Addieren/Subtrahieren

Kommen wir zur Königsdisziplin des Bruchrechnens: Dem Addieren und Subtrahieren. Hierbei müssen wir zuerst auf einen gemeinsamen Nenner kommen (haha), um unsere Rechnung durchführen zu können.

Am einfachsten - aber nicht immer am Besten - geht das, indem man die beiden Nenner miteinander multipliziert, die Brüche also mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs erweitert:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}->{\frac {a*d}{b*d}}+{\frac {c*b}{d*b}}={\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}={\frac {ad+bc}{bd}}$

${\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}->{\frac {3*6}{4*6}}+{\frac {5*4}{6*4}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}={\frac {18+20}{24}}={\frac {38}{24}}={\frac {19}{12}}$

Ansonsten kann man beide Brüche natürlich auch mit anderen Zahlen erweitern um auf einen gleichen Nenner zu kommen. Hier ist jedoch manchmal etwas Geduld und rumprobieren vonnöten.

Hier kann man nicht kürzen (dazu gleich mehr)!

Schmetterlingstrick

Eine Alternative dazu ist der sogenannte Schmetterlingstrick. Hierbei geht man wie folgt vor:

1. Man multipliziert den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des Zweiten (Ergebnis merken)
2. Als Nächstes multipliziert man den Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs (auch hier Ergebnis merken)
3. Zuletzt multipliziert man noch die beiden Nenner miteinander.

Jetzt geht es wie folgt weiter:

Das Produkt der beiden Nenner ist der Nenner des Ergebnisses.

Je nachdem, ob eine Addition oder eine Subtraktion vorliegt, werden die anderen beiden Ergebnisse nun im Zähler entweder addiert oder subtrahiert. Ggf. noch kürzen, fertig:).

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a*d+b*c}{b*d}}$

${\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}={\frac {3*6+4*5}{4*6}}={\frac {18+20}{24}}={\frac {38}{24}}={\frac {19}{12}}$

Erweitern

Wie eben schon gesehen, kann ein Bruch mit jeder beliebigen Zahl/Wert erweitert werden. Voraussetzung ist, dass sowohl Zähler als auch Nenner mit dem gleichen Wert erweitert werden.

Hierbei werden die im Bruch bestehenden Werte einfach mit der ausgewählten Zahl multipliziert.

Kürzen - Aus Summen kürzen nur die Dummen!

Best practice beim Bruchrechnen ist das Kürzen des Ergebnisses am Ende einer Rechnung. Manchmal lassen sich so auch Terme vereinfachen, indem man große Zahlen aus Zähler und Nenner gegeneinander kürzt.

Voraussetzung ist hierbei, dass entweder genau der gleiche Wert in beiden Abschnitten vorhanden ist oder vorliegende Zahlen durch einen gemeinsamen Teiler (z.B. 2) teilbar sind. Das Ganze funktioniert auch über mehrere Brüche hinweg. Beispiel:

${\frac {{\frac {x}{2}}+{\frac {7}{y}}}{{\frac {x}{7}}+{\frac {2}{y}}}}={\frac {\frac {xy+14}{2y}}{\frac {xy+14}{7y}}}={\frac {xy+14}{2y}}*{\frac {7y}{xy+14}}={\frac {7y}{2y}}$

Im Verlauf der Rechnung kann man die beiden xy+14 miteinander kürzen und sich so die Rechnung deutlich vereinfachen.

WARNUNG:

Aus Summen bzw. Differenzen kann man NICHT kürzen!

${\frac {32-8a}{2}}$

Hier kann man nicht kürzen, da im Zähler eine Differenz steht! Was wir hingegen sehr wohl können ist ausklammern:

${\frac {8*(4-a)}{2}}$

Sieht doch gleich viel besser aus:) Jetzt haben wir im Zähler ein Produkt, d. h. wir können kürzen:

${\frac {4*(4-a)}{1}}=4*(4-a)=16-4a$

Beispielrechnungen

Binomische Formeln nicht vergessen:). Insbesondere die Dritte versteckt sich gerne in ihrer Endform in einzelnen Bruchtermen, z.B. als $x^{2}+4$. (4 ist nichts anderes als 2*2 -> 2^2).

Nachschlageverzeichnis

• Bruchrechnen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=dcybZtakrEQ
• Komplexe Brüche Rechnen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=_Hu468oMRZc
• Schmetterlingstrick - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=7FZasJWWmuk
• Bruchgleichungen mit Variablen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=DZ29fqns_k0
• Kürzen mit Variablen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=k_bRFsvo4WQ&list=PLLTAHuUj-zHiyoBSoXfY0U2vqp42wSkV6&index=7
• Aus Summen kürzen nur die Dummen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=fyvWCEAyQJo&list=PLLTAHuUj-zHiyoBSoXfY0U2vqp42wSkV6&index=15