Logarithmen

Alles (oder zumindest das Meiste) über Logarithmen.

Kurze Wiederholung:

$\log _{2}(8)=3$ Gesprochen: (Der) Logarithmus zur Basis 2 von 8

Bedeutet im Klartext: Mit wieviel muss ich 2 "hochnehmen" (aka potenzieren) damit 8 rauskommt?

In diesem Fall: 3 (weil 2^3=2*2*2 = 8)

Logarithmusgesetze

Wichtig bei allen Gesetzen: Die Basis bleibt bei der Anwedung der Gesetze konstant, bzw. muss zur Anwendung konstant sein!

Erstes Gesetz

$\log(x*y)=\log(x)+\log(y)$

Produkte in einem Logarithmus können als Summe von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden. Beispiel:

$\log _{3}(3x)=log_{3}(3)+log_{3}(x)=1+log_{3}(x)$

Geht umgekehrt natülich genauso: Man kann eine Summe aus 2 Logarithmen der gleichen Basis als einen Logarithmus (der gleichen Basis) mit einem Produkt aus den beiden enthaltenen Werten schreiben:

$\log _{4}(ab)+\log _{4}({\frac {1}{a}})$

$=\log _{4}(a*b*{\frac {1}{a}})$ -> a kürzt sich raus.

$=\log _{4}(b)$

Zweites Gesetz

$\log({\frac {x}{y}})=\log(x)-\log(y)$

Das Gleiche umgekehrt: Eine Division von 2 Zahlen innerhalb eines Logarithmus kann als Differenz von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden:

$\log({\frac {5x}{3y}})=\log(5x)-\log(3y)$

Kommando rückwärts:

$\log(7ab)-\log(8x)=\log({\frac {7ab}{8x}})$

Drittes Gesetz

$\log(x^{a})=a*log(x)$

Potenzen innerhalb von Logarithmen können als Multplikator vor den Logarithmus gezogen werden.

$\log(x^{2a+b})=(2a+b)*log(x)$

Und auch das lässt sich wieder ins Gegenteil verkehren:

$7*log(y)=log(y^{7})$

$3b*log(2a)=log((2a)^{3b})$