Logarithmen

Alles (oder zumindest das Meiste) über Logarithmen.

Kurze Wiederholung:

$\log _{2}(8)=3$ Gesprochen: (Der) Logarithmus zur Basis 2 von 8

Bedeutet im Klartext: Mit wieviel muss ich 2 "hochnehmen" (aka potenzieren) damit 8 rauskommt?

In diesem Fall: 3 (weil 2^3=2*2*2 = 8)

Wichtig zu merken:

1. log(1) ist unabhängig von der Basis immer null!
2. log(iwas) (Logarithmus ohne Basisangabe) hat als Basis standardmäßig 10.
3. ln(iwas) ist der Logarithmus zur Basis e.

Logarithmusgesetze

Wichtig bei allen Gesetzen: Die Basis bleibt bei der Anwendung der Gesetze konstant, bzw. muss zur Anwendung konstant sein!

Erstes Gesetz

$\log(x*y)=\log(x)+\log(y)$

Produkte in einem Logarithmus können als Summe von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden. Beispiel:

$\log _{3}(3x)=log_{3}(3)+log_{3}(x)=1+log_{3}(x)$

Geht umgekehrt natürlich genauso: Man kann eine Summe aus 2 Logarithmen der gleichen Basis als einen Logarithmus (der gleichen Basis) mit einem Produkt aus den beiden enthaltenen Werten schreiben:

$\log _{4}(ab)+\log _{4}({\frac {1}{a}})$

$=\log _{4}(a*b*{\frac {1}{a}})$ -> a kürzt sich raus.

$=\log _{4}(b)$

Zweites Gesetz

$\log({\frac {x}{y}})=\log(x)-\log(y)$

Das Gleiche umgekehrt: Eine Division von 2 Zahlen innerhalb eines Logarithmus kann als Differenz von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden:

$\log({\frac {5x}{3y}})=\log(5x)-\log(3y)$

Kommando rückwärts:

$\log(7ab)-\log(8x)=\log({\frac {7ab}{8x}})$

Drittes Gesetz

$\log(x^{a})=a*log(x)$

Potenzen innerhalb von Logarithmen können als Multiplikator vor den Logarithmus gezogen werden.

$\log(x^{2a+b})=(2a+b)*log(x)$

Und auch das lässt sich wieder ins Gegenteil verkehren:

$7*log(y)=log(y^{7})$

$3b*log(2a)=log((2a)^{3b})$

Viertes Gesetz

$log({\sqrt[{a}]{x}})={\frac {1}{a}}*log(x)$

Die a-te Wurzel innerhalb eines Logarithmus kann als 1/a vor den Logarithmus geschrieben werden.

Wendet man jedoch die Potenzregeln und das dritte Logarithmusgesetz an ist dieses hier eigentlich überflüssig:

$log({\sqrt[{3}]{z+1}})={\frac {1}{3}}*log(z+1)$

Aber gleichzeitig gilt ja auch:

$log({\sqrt[{3}]{z+1}})=log((z+1)^{\frac {1}{3}})$-> Da jetzt das dritte Logarithmusgesetz angewendet:

$={\frac {1}{3}}*log(z+1)$

Aber weil's so schön ist: Das Ganze nochmal retour:

${\frac {1}{10}}*log_{3}(y^{2}+4)=log_{3}((y^{2}+4)^{\frac {1}{10}})$

$=log_{3}({\sqrt[{10}]{y^{2}+4}})$

Logarithmus naturalis

Der Logarithmus zur Basis e. Verhält sich in Funktionen fast genauso wie der normale Logarithmus und unterliegt ebenfalls den oben genannten Gesetzen.

Beispielaufgaben

Erste Aufgabe

$2*log(x)-log(4)+log({\frac {4y}{x}})$

Vorgehensweise: Logarithmengesetze anwenden. Lösung: Drittes Logarithmusgesetz: 2 als Potenz in den ersten Logarithmus

$=log(x^{2})-log(4)+log({\frac {4y}{x}})$ -> Zweites Logarithmusgesetz rückwärts: Subtraktion von 2 Logarithmen = Logarithmus mit Division darin

$=log({\frac {x^{2}}{4}})+log({\frac {4y}{x}})$ -> Erstes Logarithmusgesetz rückwärts: Summe von 2 Logarithmen = Produkt in einem Logarithmus

$=log({\frac {x^{2}}{4}}*{\frac {4y}{x}})$ -> Kürzen nicht vergessen:)

$=log(x*y)$