Summen- und Produktzeichen
Was sind eigentlich Summen- und Produktzeichen?
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Die Grundlagen
Allgemein
Das Summenzeichen ("Sigma") beschreibt eine Kette von Additionen, die einem Muster folgen. Das sieht so aus:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=1}^4x^k}
Das bedeutet jetzt, dass wir in dem Term rechts neben dem Sigma für k (oder irgendeinen anderen Buchstaben unter dem Sigma-Zeichen) das einsetzen, was unter dem Zeichen steht. Hier also 1. Btw: Egal, wie oft k, i oder der Buchstabe allgemein vorkommt, er wird überall durch den jeweiligen Wert ersetzt.
Heraus kommt also zunächst x^1 = x. Jetzt zählen wir k um eins hoch (heißt k=2) und machen das Gleiche nochmal. Das Ergebnis addieren wir mit dem ersten Ergebnis.
Das machen wir so lange bis k den Wert über dem Sigma-Zeichen erreicht hat (k=4). Diese Rechnung zählt aber immer noch mit rein!
Bezogen auf das Ding oben bedeutet das also:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=1}^4x^k = x^1 + x^2 +x^3+x^4}
Könnte man das vereinfachen oder zusammenrechnen würde man das jetzt tun. Das ist schon die ganze Magie.
Für das Produktzeichen ("Pi") gilt ähnliches:
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Hier ist (fast) alles gleich nur das statt addiert multipliziert wird. Also:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{k=1}^4 x^k = x^1*x^2*x^3*x^4 = x^{10}}
Potenzregeln nicht vergessen:)
Nicht vergessen
Es gibt insgesamt 3(,5) Sonderfälle, die man sich im Umgang mit diesen Zeichen merken muss:
Erstens: Gleich große Grenzen
Wenn die obere und die untere Zahl gleich sind gilt als Ergebnis einfach nur der Term mit dem jeweiligen Wert:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=m}^na=a} ; Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{k=m}^na=a}
Heißt also:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=1}^1n=1} ; Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{n=1}^1 n = 1}
Gilt für beide Zeichen.
Zweitens: Kein "Counter" im Term
Falls kein "Counter" (also k, n, m, i, was-auch-immer) in dem Term neben dem Zeichen auftaucht ist es ziemlich einfach: Man nimmt einfachbei jedem Schritt nur den Term so wie er ist und addiert bzw. multipliziert ihn entsprechend oft.
Beispiel:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=1}^3 9 = 9+9+9}
Hat der Term dann auch noch (wie oben) keine Variable kann man ihn mittels einer Formel noch weiter vereinfachen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=m}^nc = (n-m+1)*c}
Soll heißen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=1}^3 9 = (3-1+1)*9 = 3*9 = 9+9+9}
Bei dem Produktzeichen lautet die Formel ähnlich, allerdings wird sie als Potenz geschrieben:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{k=m}^nc = c^{n-m+1}}
In der Praxis:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{n=1}^39 = 9^{3-1+1} = 9^3 = 9*9*9}
Drittens: Untere Grenze größer als obere Grenze
In solchen Fällen gilt: Ein Summenzeichen ist immer = 0 und ein Produktzeichen ist immer = 1, egal was in dem Term steht.
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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{n=5}^3a = 0}
Man sagt: Die Summe / das Produkt ist Teil einer leeren Menge.
