Summen- und Produktzeichen

Was sind eigentlich Summen- und Produktzeichen?

$\sum _{k=m}^{n}a$  ; $\prod _{k=m}^{n}a$

Die Grundlagen

Allgemein

Das Summenzeichen ("Sigma") beschreibt eine Kette von Additionen, die einem Muster folgen. Das sieht so aus:

$\sum _{k=1}^{4}x^{k}$

Das bedeutet jetzt, dass wir in dem Term rechts neben dem Sigma für k (oder irgendeinen anderen Buchstaben unter dem Sigma-Zeichen) das einsetzen, was unter dem Zeichen steht. Hier also 1. Btw: Egal, wie oft k, i oder der Buchstabe allgemein vorkommt, er wird überall durch den jeweiligen Wert ersetzt.

Heraus kommt also zunächst x^1 = x. Jetzt zählen wir k um eins hoch (heißt k=2) und machen das Gleiche nochmal. Das Ergebnis addieren wir mit dem ersten Ergebnis.

Das machen wir so lange bis k den Wert über dem Sigma-Zeichen erreicht hat (k=4). Diese Rechnung zählt aber immer noch mit rein!

Bezogen auf das Ding oben bedeutet das also:

$\sum _{k=1}^{4}x^{k}=x^{1}+x^{2}+x^{3}+x^{4}$

Könnte man das vereinfachen oder zusammenrechnen würde man das jetzt tun. Das ist schon die ganze Magie.

Für das Produktzeichen ("Pi") gilt ähnliches:

$\prod _{k=1}^{4}x^{k}$

Hier ist (fast) alles gleich nur das statt addiert multipliziert wird. Also:

$\prod _{k=1}^{4}x^{k}=x^{1}*x^{2}*x^{3}*x^{4}=x^{10}$

Potenzregeln nicht vergessen:)

Nicht vergessen

Es gibt insgesamt 3(,5) Sonderfälle, die man sich im Umgang mit diesen Zeichen merken muss:

Erstens: Gleich große Grenzen

Wenn die obere und die untere Zahl gleich sind gilt als Ergebnis einfach nur der Term mit dem jeweiligen Wert:

$\sum _{k=m}^{n}a=a$  ; $\prod _{k=m}^{n}a=a$

Heißt also:

$\sum _{n=1}^{1}n=1$  ; $\prod _{n=1}^{1}n=1$

Gilt für beide Zeichen.

Zweitens: Kein "Counter" im Term

Falls kein "Counter" (also k, n, m, i, was-auch-immer) in dem Term neben dem Zeichen auftaucht ist es ziemlich einfach: Man nimmt einfachbei jedem Schritt nur den Term so wie er ist und addiert bzw. multipliziert ihn entsprechend oft.

Beispiel:

$\sum _{n=1}^{3}9=9+9+9$

Hat der Term dann auch noch (wie oben) keine Variable kann man ihn mittels einer Formel noch weiter vereinfachen:

$\sum _{k=m}^{n}c=(n-m+1)*c$

Soll heißen:

$\sum _{n=1}^{3}9=(3-1+1)*9=3*9=9+9+9$

Bei dem Produktzeichen lautet die Formel ähnlich, allerdings wird sie als Potenz geschrieben:

$\prod _{k=m}^{n}c=c^{n-m+1}$

In der Praxis:

$\prod _{n=1}^{3}9=9^{3-1+1}=9^{3}=9*9*9$

Drittens: Untere Grenze größer als obere Grenze

In solchen Fällen gilt: Ein Summenzeichen ist immer = 0 und ein Produktzeichen ist immer = 1, egal was in dem Term steht.

$\sum _{n=5}^{3}a=0$

$\prod _{n=5}^{3}a=0$

Man sagt: Die Summe / das Produkt ist Teil einer leeren Menge.