Summen- und Produktzeichen

Was sind eigentlich Summen- und Produktzeichen?

$\sum _{k=m}^{n}a$  ; $\prod _{k=m}^{n}a$

Die Grundlagen

Allgemein

Das Summenzeichen ("Sigma") beschreibt eine Kette von Additionen, die einem Muster folgen. Das sieht so aus:

$\sum _{k=1}^{4}x^{k}$

Das bedeutet jetzt, dass wir in dem Term rechts neben dem Sigma für k (oder irgendeinen anderen Buchstaben unter dem Sigma-Zeichen) das einsetzen, was unter dem Zeichen steht. Hier also 1. Btw: Egal, wie oft k, i oder der Buchstabe allgemein vorkommt, er wird überall durch den jeweiligen Wert ersetzt.

Heraus kommt also zunächst x^1 = x. Jetzt zählen wir k um eins hoch (heißt k=2) und machen das Gleiche nochmal. Das Ergebnis addieren wir mit dem ersten Ergebnis.

Das machen wir so lange bis k den Wert über dem Sigma-Zeichen erreicht hat (k=4). Diese Rechnung zählt aber immer noch mit rein!

Bezogen auf das Ding oben bedeutet das also:

$\sum _{k=1}^{4}x^{k}=x^{1}+x^{2}+x^{3}+x^{4}$

Könnte man das vereinfachen oder zusammenrechnen würde man das jetzt tun. Das ist schon die ganze Magie.

Für das Produktzeichen ("Pi") gilt ähnliches:

$\prod _{k=1}^{4}x^{k}$

Hier ist (fast) alles gleich nur das statt addiert multipliziert wird. Also:

$\prod _{k=1}^{4}x^{k}=x^{1}*x^{2}*x^{3}*x^{4}=x^{10}$

Potenzregeln nicht vergessen:)

Nicht vergessen

Es gibt insgesamt 3(${\frac {1}{2}}$) Sonderfälle, die man sich im Umgang mit diesen Zeichen merken muss:

Erstens: Gleich große Grenzen

Wenn die obere und die untere Zahl gleich sind gilt als Ergebnis einfach nur der Term mit dem jeweiligen Wert:

$\sum _{k=m}^{n}a=a$  ; $\prod _{k=m}^{n}a=a$

Heißt also:

$\sum _{n=1}^{1}n=1$  ; $\prod _{n=1}^{1}n=1$

Gilt für beide Zeichen.

Zweitens: Kein "Counter" im Term

Falls kein "Counter" (also k, n, m, i, was-auch-immer) in dem Term neben dem Zeichen auftaucht ist es ziemlich einfach: Man nimmt einfachbei jedem Schritt nur den Term so wie er ist und addiert bzw. multipliziert ihn entsprechend oft.

Beispiel:

$\sum _{n=1}^{3}9=9+9+9$

Hat der Term dann auch noch (wie oben) keine Variable kann man ihn mittels einer Formel noch weiter vereinfachen:

$\sum _{k=m}^{n}c=(n-m+1)*c$

Soll heißen:

$\sum _{n=1}^{3}9=(3-1+1)*9=3*9=9+9+9$

Bei dem Produktzeichen lautet die Formel ähnlich, allerdings wird sie als Potenz geschrieben:

$\prod _{k=m}^{n}c=c^{n-m+1}$

In der Praxis:

$\prod _{n=1}^{3}9=9^{3-1+1}=9^{3}=9*9*9$

Drittens: Untere Grenze größer als obere Grenze

In solchen Fällen gilt: Ein Summenzeichen ist immer = 0 und ein Produktzeichen ist immer = 1, egal was in dem Term steht.

$\sum _{n=5}^{3}a=0$

$\prod _{n=5}^{3}a=1$

Man sagt: Die Summe / das Produkt ist Teil einer leeren Menge.

Indexmengen

Manchmal ist in Aufgaben statt willkürlichen Zahlen oder Termen eine fest definierte Menge mit einer bestimmten Anzahl an Werten gegeben. Diese können die Gestalt von z. B. Zinssätzen, Erträgen, Distanzen o.ä. annehmen.

Beispielsweise haben wir hier die Menge a: a = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Eine Verwendung in einem Summenzeichen könnte so aussehen:

$\sum _{i=1}^{8}a_{i}$

$a_{i}$ heißt bedeutet: Der Wert der Menge a an der Position i. In diesem ersten Fall also 1.

Rechnet man die Summe aus kommt hier nichts anderes als die Summe der ersten 8 Inhalte der Menge a (hier gleichzeitig auch die gesamte Menge) raus:

$\sum _{i=1}^{8}a_{i}=1+2+3+4+5+6+7+8$

Das Gleiche gilt natürlich auch bei dem Produktzeichen und in Situationen, in denen $a_{i}$ Bestandteil eines größeren Terms ist:

$\prod _{i=1}^{8}2a_{i}-1=(2*1-1)*(2*2-1)*...*(2*8-1)=1*3*5*7*9*11*13*15$

Nachschlagewerke

• Summenzeichen - Mathebibel: https://www.mathebibel.de/summenzeichen
• Produktzeichen - Mathebibel: https://www.mathebibel.de/produktzeichen
• Uni-Mathe auf Deutsch - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=eWhAjzMjS-w
• Summenzeichen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=bX3nIvXmr6E
• Summenzeichen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=9WAG2P1B3us
• Summenzeichen berechnen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=dxClXyew_Ww
• Summenzeichen berechnen 2 - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=ge3RCjdIU2g
• Komplexes Summenzeichen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=nLN9Pl9eKzg
• Arithmetisches Mittel - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=B7Ac8UEb7Hc
• Geometrisches Mittel - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=o48pn7hCjFg