Summen- und Produktzeichen

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Was sind eigentlich Summen- und Produktzeichen?

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=m}^na}  ; Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{k=m}^na}

Die Grundlagen

Allgemein

Das Summenzeichen ("Sigma") beschreibt eine Kette von Additionen, die einem Muster folgen. Das sieht so aus:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=1}^4x^k}

Das bedeutet jetzt, dass wir in dem Term rechts neben dem Sigma für k (oder irgendeinen anderen Buchstaben unter dem Sigma-Zeichen) das einsetzen, was unter dem Zeichen steht. Hier also 1. Btw: Egal, wie oft k, i oder der Buchstabe allgemein vorkommt, er wird überall durch den jeweiligen Wert ersetzt.

Heraus kommt also zunächst x^1 = x. Jetzt zählen wir k um eins hoch (heißt k=2) und machen das Gleiche nochmal. Das Ergebnis addieren wir mit dem ersten Ergebnis.

Das machen wir so lange bis k den Wert über dem Sigma-Zeichen erreicht hat (k=4). Diese Rechnung zählt aber immer noch mit rein!

Bezogen auf das Ding oben bedeutet das also:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=1}^4x^k = x^1 + x^2 +x^3+x^4}

Könnte man das vereinfachen oder zusammenrechnen würde man das jetzt tun. Das ist schon die ganze Magie.

Für das Produktzeichen ("Pi") gilt ähnliches:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{k=1}^4 x^k}

Hier ist (fast) alles gleich nur das statt addiert multipliziert wird. Also:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{k=1}^4 x^k = x^1*x^2*x^3*x^4 = x^{10}}

Potenzregeln nicht vergessen:)

Nicht vergessen

Es gibt insgesamt 3(Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2}} ) Sonderfälle, die man sich im Umgang mit diesen Zeichen merken muss:

Erstens: Gleich große Grenzen

Wenn die obere und die untere Zahl gleich sind gilt als Ergebnis einfach nur der Term mit dem jeweiligen Wert:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=m}^na=a}  ; Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{k=m}^na=a}

Heißt also:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=1}^1n=1}  ; Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{n=1}^1 n = 1}

Gilt für beide Zeichen.

Zweitens: Kein "Counter" im Term

Falls kein "Counter" (also k, n, m, i, was-auch-immer) in dem Term neben dem Zeichen auftaucht ist es ziemlich einfach: Man nimmt einfachbei jedem Schritt nur den Term so wie er ist und addiert bzw. multipliziert ihn entsprechend oft.

Beispiel:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=1}^3 9 = 9+9+9}

Hat der Term dann auch noch (wie oben) keine Variable kann man ihn mittels einer Formel noch weiter vereinfachen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=m}^nc = (n-m+1)*c}

Soll heißen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=1}^3 9 = (3-1+1)*9 = 3*9 = 9+9+9}

Bei dem Produktzeichen lautet die Formel ähnlich, allerdings wird sie als Potenz geschrieben:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{k=m}^nc = c^{n-m+1}}

In der Praxis:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{n=1}^39 = 9^{3-1+1} = 9^3 = 9*9*9}

Drittens: Untere Grenze größer als obere Grenze

In solchen Fällen gilt: Ein Summenzeichen ist immer = 0 und ein Produktzeichen ist immer = 1, egal was in dem Term steht.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=5}^3a = 0}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{n=5}^3a = 1}

Man sagt: Die Summe / das Produkt ist Teil einer leeren Menge.

Rechenregeln

Rechenregeln Summenzeichen

Konstanten hervorziehen

Man kann Faktoren (also Multiplikatoren, die mit der Grenze nichts unmittelbar zu tun haben) aus der Summe herausnehmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=m}^n c*a = c*\sum_{k=m}^n a}

Summen aufspalten

Additionen und Subtraktionen innerhalb einer Summe lassen sich in mehrere Summen aufspalten (Achtung: Klappt NICHT bei Multiplikationen oder Divisionen):

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=1}^{20} 2k-\frac{1}{3} = \sum_{k=1}^{20} 2k - \sum_{k=1}^{20} \frac{1}{3}}

Falls auf diese Art Terme aufgespalten werden bitte die Klammern nicht vergessen!

Doppelsummen: Summen vertauschen

Bei Doppelsummen, sprich 2 Summenzeichen direkt hintereinander (yikes) kann man die Grenzen eines Summenzeichens mit denen des Anderen tauschen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=1}^m\sum_{i=1}^na=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^ma}

Aufteilen

Man kann den "Grenzverlauf" innerhalb einer Summen- oder Produktformel unterbrechen und in 2 oder mehr Teile aufspalten:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=1}^na = \sum_{k=1}^ma + \sum_{k=m+1}^na} -> Wir haben "m" als neue Grenze zwischen den ursprünglichen Grenzen k und n eingeführt.

In diesem Fall gilt als Voraussetzung aber, dass m größer ist als 1 (Anfangswert von k) und definitiv kleiner ist als n (Endgrenze). -> (1<m<n)

Sonderfall: Gaußsche Summenformel

Achtung: Gilt nur für das Summenzeichen! (wer hätte das bei dem Namen nur gedacht...)

Haben wir eine ziemliche Menge an Summen zu berechnen kann man sich das Leben mit Hilfe dieser Formel stark vereinfachen.

Voraussetzung ist, dass wir nur die untere Grenze in der Summenformel haben. Vorher also mit den bekannten Regeln den Rest rausziehen (siehe oben).

Jetzt können wir die Summe der inkludierten Zahlen mit folgender Formel bestimmen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{n*(n+1)}{2}} , wobei n die obere Grenze der Summe ist.

Beispiel gefällig:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=0}^{50} 2k}

Erst mal auflösen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =2*\sum_{k=0}^{50} k}

Und jetzt die Formel:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =2* \frac{50*(50+1)}{2} = 2* \frac{50*51}{2}}

In diesem konkreten Beispiel könnte man sogar noch die 2 rauskürzen. Somit bliebe 50*51.

Rechenregeln Produktzeichen

Aufteilen

Man kann den "Grenzverlauf" innerhalb einer Summen- oder Produktformel unterbrechen und in 2 oder mehr Teile aufspalten:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=1}^na = \sum_{k=1}^ma + \sum_{k=m+1}^na} -> Wir haben "m" als neue Grenze zwischen den ursprünglichen Grenzen k und n eingeführt.

In diesem Fall gilt als Voraussetzung aber, dass m größer ist als 1 (Anfangswert von k) und definitiv kleiner ist als n (Endgrenze). -> (1<m<n)

Konstanten hervorziehen

Man kann Faktoren (also Multiplikatoren, die mit der Grenze nichts unmittelbar zu tun haben) aus dem Produkt herausnehmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{k=m}^n c*a = c^n*\prod_{k=m}^n a}

Achtung: Bei Produktzeichen muss man dabei die herausgenommene Konstante immer noch mit der Endgrenze potenzieren!

Produkte aufspalten

Produkte innerhalb eines Produkts lassen sich in mehrere Teile aufspalten (Achtung: Klappt diesmal NICHT bei Additionen oder Subtraktionen):

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Hier jetzt bitte wirklich die Klammern nicht vergessen.

Doppelprodukte: Produkte vertauschen

Bei Doppelprodukten gilt das Gleiche wie bei Doppelsummen: Man kann die Grenzen eines Produktzeichens mit denen des Anderen tauschen:

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Indexmengen

Manchmal ist in Aufgaben statt willkürlichen Zahlen oder Termen eine fest definierte Menge mit einer bestimmten Anzahl an Werten gegeben. Diese können die Gestalt von z. B. Zinssätzen, Erträgen, Distanzen o.ä. annehmen.

Beispielsweise haben wir hier die Menge a: a = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Eine Verwendung in einem Summenzeichen könnte so aussehen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^8a_i}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_i} heißt bedeutet: Der Wert der Menge a an der Position i. In diesem ersten Fall also 1.

Rechnet man die Summe aus kommt hier nichts anderes als die Summe der ersten 8 Inhalte der Menge a (hier gleichzeitig auch die gesamte Menge) raus:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^8a_i = 1+2+3+4+5+6+7+8}

Das Gleiche gilt natürlich auch bei dem Produktzeichen und in Situationen, in denen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_i} Bestandteil eines größeren Terms ist:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \prod_{i=1}^82a_i-1 = (2*1-1) * (2*2-1) * ... * (2*8-1) = 1*3*5*7*9*11*13*15}

Statistische Größen

Arithmetisches Mittel

a.k.a. Durchschnitt, a.k.a. Mittelwert.

Werte zum Rechnen: a = {7 ,5, 7, 4, 8, 7, 4, 7, 4, 8}

Als Tabelle:

Wert 4 5 7 8
Anzahl 3 1 4 2

Die Berechnung erfolgt wie gehabt: Man addiert alle vorhandenen Werte und teilt das Ergebnis am Ende durch deren Anzahl:

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Kann man auch mit dem Summenzeichen schreiben:

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Falls man nicht nur die absoluten Werte hat, sondern diese auch noch in einer Tabelle nach der Häufigkeit ihres Auftretens sortiert sind, kann man die Formel oben auch anders gestalten:

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Geometrisches Mittel

Beispielaufgaben

Wird noch ergänzt.

Nachschlagewerke

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