Funktionen und Relationen

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Von Funktionen und Relationen.

Allgemeines

Was ist was?

Relation

Eine Relation ist eine Regel, die einer Zahl/einem Objekt aus einer Menge einen oder mehrere Zahlen/Werte aus einer anderen Mange direkt zuordnet.

Im Regelfall spricht man bei der ersten Menge - die, deren Werte zugeordnet werden - von dem Definitionsbereich D und bei der zweiten Menge - die, deren Werte die ersten Menge zugeordnet bekommen - von dem Wertebereich W.

Funktion

Eine Funktion ist eine Relation (d.h. die Zuordnung einer Zahl zu einer anderen Zahl) bei der jeder x-Wert maximal einen y-Wert besitzt.

Anders ausgedrückt:

Jede Funktion ist eine Relation, aber nicht jede Relation eine Funktion.

Veranschaulichung

(Mir fällt jetzt ehrlicherweise kein eigenes Beispiel ein, also nehme ich eines aus einem Video)

Etwas anschaulicher ausgedrückt:

Wir nehmen mal an, dass wir ein Autohaus besitzen. Unser Ziel es damit Autos zu verkaufen.

Unsere Autos befinden sich in dem Definitionsbereich D. Der Wertebereich W beinhaltet unsere Kunden, denen wir die Autos verkaufen (zuordnen) möchten:

Vereinfachte bildliche Darstellung einer Funktion.


Wir sehen auf dem Bild: Das Ganze ist eine Funktion.

Begründung: Jedem Auto (x-Wert) ist genau ein Käufer (y-Wert) zugeordnet.

Es wäre keine Funktion, wenn ein x-Wert mehrere y-Werte zugeteilt bekommen hätte (man kann ein Auto ja nicht zwei Mal verkaufen).

Das Gegenteil ist aber kein Problem (ein Kunde kann sich ja unter Umständen mehrere Autos kaufen).

Kartesisches Produkt

Eine Relation ist per Definition eine Teilmenge des Kartesischen Produkts von 2 Mengen zuzüglich einer Regel, z.B. a > 2b.

Eigenschaften von Funktionen

Injektiv

Subjektiv

Bijektiv

Umkehrfunktionen

Verkettungen

Nachschlagewerke

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