Ableitungen

Kurze Rekapitulation der Ableitungen.

Wichtig ist zu Anfang vielleicht noch zu erwähnen, dass immer die Variable, die in den Klammern der Funktion steht abgeleitet wird.

Ableitungsregeln

Konstanten

Konstanten - also einfache Zahlen, hinter denen keine Variable steht - fallen beim Ableiten immer weg.

Auch wenn sie unschön aussehen:

$f(x)={\sqrt {2}}$

$f'(x)=0$

Potenzregel

Die wohl am häufigsten verwendete Ableitungsregel:

Der Exponent einer Variable oder einer Klammer wird beim Ableiten als Ganzes (original) als Faktor (Multiplikation) vor die Variable/die Klammer gezogen und anschließend an seiner Exponentenstelle um 1 verringert.

$f(x)=x^{n}$

$f'(x)=n*x^{n-1}$

Beispiele:

$f(x)=x^{1000}$

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x)=1000*x^{999}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=x^{-7}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g'(x)=-7*x^{-8}}

Faktorregel

Die Faktorregel besagt, dass Faktoren (Multiplikationen direkt vor einer Variable/einer Klammer) beim Ableiten in Ruhe gelassen werden. Sie werden im Anschluss an die Ableitung bestenfalls mit dem neu hinzugekommenen Faktor (siehe oben) multipliziert:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=3x^5}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x)=3*5*x^4 = 15*x^4}

Beispiele:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t)= \sqrt{2}*t^4}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(t)= \sqrt{2}*4*t^3}

Um für Klarheit zu sorgen empfiehlt es sich, Brüche vor dem Ableiten umzuformen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{5}=\frac{1}{5}*x^3}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x)=\frac{1}{5}*3x^2}

Summenregel

Durch Plus oder Minus verbundene Einzelteile einer Funktion können einzeln abgeleitet werden, ohne auf die anderen Teile Rücksicht nehmen zu müssen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=x^2-5x^3+7}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x)=2x-5*3*x^2 = 2x-15x^2}

Produktregel

Kommen wir zu was weniger Schönem: Der Produktregel.

Sie besagt, dass wenn wir 2 durch ein Malzeichen getrennte Bestandteile einer Funktion haben (hier mal u und v genannt) Folgendes gilt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=u*v}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x)=u'*v+u*v'}

In der Praxis sähe das dann also in etwa so aus:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=x^3*x^5} -> Ja, das kann man auch als x^8 zusammenfassen, aber es geht hier um eine möglichst einfache Demonstration.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x) = 3x^2*x^5+x^3*5x^4}

Nachschlagewerke

• Ableitung Grundlagen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=GtVWdeevZpw
• Produkt-, Quotienten- und Kettenregel - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=47bKq2lXGs8
• Ableitung Zusammenfassung - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=CV4-_lL85s8
• Ableitungsregeln - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=GtVWdeevZpw
• Brüche ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=y__6V_E8iNE
• Wurzeln ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=NYYbhj3qUAQ