Ableitungen

Kurze Rekapitulation der Ableitungen.

Wichtig ist zu Anfang vielleicht noch zu erwähnen, dass immer die Variable, die in den Klammern der Funktion steht abgeleitet wird.

Ableitungsregeln

Konstanten

Konstanten - also einfache Zahlen, hinter denen keine Variable steht - fallen beim Ableiten immer weg.

Auch wenn sie unschön aussehen:

$f(x)={\sqrt {2}}$

$f'(x)=0$

Potenzregel

Die wohl am häufigsten verwendete Ableitungsregel:

Der Exponent einer Variable oder einer Klammer wird beim Ableiten als Ganzes (original) als Faktor (Multiplikation) vor die Variable/die Klammer gezogen und anschließend an seiner Exponentenstelle um 1 verringert.

$f(x)=x^{n}$

$f'(x)=n*x^{n-1}$

Beispiele:

$f(x)=x^{1000}$

$f'(x)=1000*x^{999}$

$g(x)=x^{-7}$

$g'(x)=-7*x^{-8}$

Faktorregel

Die Faktorregel besagt, dass Faktoren (Multiplikationen direkt vor einer Variable/einer Klammer) beim Ableiten in Ruhe gelassen werden. Sie werden im Anschluss an die Ableitung bestenfalls mit dem neu hinzugekommenen Faktor (siehe oben) multipliziert:

$f(x)=3x^{5}$

$f'(x)=3*5*x^{4}=15*x^{4}$

Beispiele:

$f(t)={\sqrt {2}}*t^{4}$

$f'(t)={\sqrt {2}}*4*t^{3}$

Um für Klarheit zu sorgen empfiehlt es sich, Brüche vor dem Ableiten umzuformen:

$f(x)={\frac {x^{3}}{5}}={\frac {1}{5}}*x^{3}$

$f'(x)={\frac {1}{5}}*3x^{2}$

Summenregel

Durch Plus oder Minus verbundene Einzelteile einer Funktion können einzeln abgeleitet werden, ohne auf die anderen Teile Rücksicht nehmen zu müssen:

$f(x)=x^{2}-5x^{3}+7$

$f'(x)=2x-5*3*x^{2}=2x-15x^{2}$

Produktregel

Kommen wir zu was weniger Schönem: Der Produktregel.

Sie besagt, dass wenn wir 2 durch ein Malzeichen getrennte Bestandteile einer Funktion haben (hier mal u und v genannt) Folgendes gilt:

$f(x)=u*v$

$f'(x)=u'*v+u*v'$

In der Praxis sähe das dann also in etwa so aus:

$f(x)=x^{3}*x^{5}$ -> Ja, das kann man auch als x^8 zusammenfassen, aber es geht hier um eine möglichst einfache Demonstration.

$f'(x)=3x^{2}*x^{5}+x^{3}*5x^{4}$

Nachschlagewerke

• Ableitung Grundlagen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=GtVWdeevZpw
• Produkt-, Quotienten- und Kettenregel - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=47bKq2lXGs8
• Ableitung Zusammenfassung - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=CV4-_lL85s8
• Ableitungsregeln - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=GtVWdeevZpw
• Brüche ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=y__6V_E8iNE
• Wurzeln ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=NYYbhj3qUAQ