Ableitungen

Kurze Rekapitulation der Ableitungen.

Wichtig ist vielleicht noch zu erwähnen, dass immer die Variable, die in den Klammern der Funktion steht abgeleitet wird (also bei f(x) x).

Ableitungsregeln

Konstanten

Konstanten - also einfache Zahlen, hinter denen keine Variable steht - fallen beim Ableiten immer weg.

Auch wenn sie unschön aussehen:

$f(x)={\sqrt {2}}$

$f'(x)=0$

Potenzregel

Die wohl am häufigsten verwendete Ableitungsregel:

Der Exponent einer Variable oder einer Klammer wird beim Ableiten als Ganzes (original) als Faktor (Multiplikation) vor die Variable/die Klammer gezogen und anschließend an seiner Exponentenstelle um 1 verringert.

$f(x)=x^{n}$

$f'(x)=n*x^{n-1}$

Beispiele:

$f(x)=x^{1000}$

$f'(x)=1000*x^{999}$

$g(x)=x^{-7}$

$g'(x)=-7*x^{-8}$

Faktorregel

Die Faktorregel besagt, dass Faktoren (Multiplikationen direkt vor einer Variable/einer Klammer) beim Ableiten in Ruhe gelassen werden. Sie werden im Anschluss an die Ableitung bestenfalls mit dem neu hinzugekommenen Faktor (siehe oben) multipliziert:

$f(x)=3x^{5}$

$f'(x)=3*5*x^{4}=15*x^{4}$

Beispiele:

$f(t)={\sqrt {2}}*t^{4}$

$f'(t)={\sqrt {2}}*4*t^{3}$

Um für Klarheit zu sorgen empfiehlt es sich, Brüche vor dem Ableiten umzuformen:

$f(x)={\frac {x^{3}}{5}}={\frac {1}{5}}*x^{3}$

$f'(x)={\frac {1}{5}}*3x^{2}$

Summenregel

Durch Plus oder Minus verbundene Einzelteile einer Funktion können einzeln abgeleitet werden, ohne auf die anderen Teile Rücksicht nehmen zu müssen:

$f(x)=x^{2}-5x^{3}+7$

$f'(x)=2x-5*3*x^{2}=2x-15x^{2}$

Produktregel

Kommen wir zu was weniger Schönem: Der Produktregel.

Sie besagt, dass wenn wir 2 durch ein Malzeichen getrennte Bestandteile einer Funktion haben (hier mal u und v genannt) Folgendes gilt:

$f(x)=u*v$

$f'(x)=u'*v+u*v'$

In der Praxis sähe das dann also in etwa so aus:

$f(x)=x^{3}*x^{5}$ -> Ja, das kann man auch als x^8 zusammenfassen, aber es geht hier um eine möglichst einfache Demonstration.

$f'(x)=3x^{2}*x^{5}+x^{3}*5x^{4}$

$=3x^{7}+5x^{7}=8x^{7}$

Kettenregel

Kommen wir zur beliebtesten aller Ableitungsregeln (wer Spuren von Ironie findet darf sie behalten!): Der Kettenregel.

Die Kettenregel wird immer dann gebraucht, wenn es an die Ableitung von ineinander verschachtelten Funktionen geht:

$f(x)=(x^{4}+5)^{7}$

Hierbei ist die innere Funktion (hier x^4+5) unser u und die äußere Funktion (u^7) unser v.

Die Kettenregel besagt jetzt:

$f'(x)=u'*v'$

Also bitte:

$f'(x)=4x^{3}*7*(x^{4}+5)^{6}$

Quotientenregel

Okay, jetzt wird's richtig lustig (nicht): Die Quotientenregel kommt bei der Ableitung von Brüchen zum Einsatz. Wie die Produktregel unterteilt auch sie die Funktion in u (Zähler und v (Nenner). Dabei gilt:

$f(x)={\frac {u}{v}}$

$f'(x)={\frac {u'*v-u*v'}{v^{2}}}$

Man sieht also: Im Zähler steht die Produktregel aber dieses mal mit Minus und im Nenner wird der ursprüngliche Nenner quadriert (much worse garbage!).

$f(x)={\frac {2x+3}{x^{5}}}$

$f'(x)={\frac {2*x^{5}-(2x+3)*5x^{4}}{(x^{5})^{2}}}$

Das ist die Ableitung. Mit etwas Glück muss man sie nicht weiter vereinfachen:).

Spezialfälle

Wurzeln ableiten

Beim Ableiten von Wurzeln gilt: Zuallererst mal die Wurzeln durch reguläre Exponenten ersetzen:

$f(x)={\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$

Jetzt kann man das Ganze auf altbewährte Art und Weise ableiten:

$f'(x)={\frac {1}{2}}*x^{-{\frac {1}{2}}}$

Wenn wir jetzt noch extra gründlich sein wollen können wir das noch umformen:

$={\frac {1}{2}}*{\frac {1}{x^{\frac {1}{2}}}}$

$={\frac {1}{2}}*{\frac {1}{\sqrt {x}}}$

e-Funktionen ableiten

Die e-Funktion ist besonders, denn an sich wird sie nie abgeleitet, innerhalb des Exponenten kann sich jedoch die Kettenregel verbergen:

$f(x)=4*e^{x}$

$f'(x)=4*e^{x}$

$g(x)=e^{3x}$

Achtung Kettenregel!

$g'(x)=3*e^{3x}$

Gleiches gilt übrigens auch in Summen:

$h(x)=5*e^{2x}+e^{-x}$

$h'(x)=5*2*e^{2x}+e^{-x}*(-1)$

$=10*e^{2x}-e^{-x}$

Wie wär's mit einer Kombination von zwei Spezialfällen?

$i(x)=e^{\sqrt {x}}$

Funktioniert aber genau so wir immer: e-Funktion bleibt wie sie ist, die Wurzel wird ersetzt, ausgerechnet und anschließend wieder umgeformt:

$i'(x)=e^{\sqrt {x}}*{\frac {1}{2*{\sqrt {x}}}}$

Logarithmen ableiten

Auch bei den Logarithmen kommen wir um die Kettenregel nicht herum, da innerhalb eines Logarithmus sehr häufig noch eigene Funktionen stehen.

Grundsätzlich gilt:

$f(x)=\ln(x)$

$f'(x)={\frac {1}{x}}$

Beispielaufgaben

Erste Aufgabe:

$f(x)={\sqrt {x^{5}}}$ -> umschreiben

$=x^{\frac {5}{2}}$

$f'(x)={\frac {5}{2}}*x^{\frac {3}{2}}$-> wieder umformen

$={\frac {5}{2}}*{\sqrt {x^{3}}}$

Zweite Aufgabe:

$f(x)=8*{\sqrt {x^{2}+1}}$

$=8*(x^{2}+1)^{\frac {1}{2}}$ -> Wichtig: Alles in der Wurzel hoch 1/2 nehmen.

Jetzt kommt die Kettenregel:

$f'(x)=8*2x*{\frac {1}{2}}*(x^{2}+1)^{-{\frac {1}{2}}}$

Das ist die Ableitung. Wenn man noch vereinfachen möchte:

$={\frac {8x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

Dritte Aufgabe:

$f(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}-x-1}}$

Vierte Aufgabe:

$f(x)=e^{2x^{3}+5x^{2}+7}$

Fünfte Aufgabe:

$f(x)=(3x^{2}-4)*e^{2x}$

Sechste Aufgabe:

$f(x)=e^{3}*e^{x}+{\frac {1}{e^{x}}}$

Siebte Aufgabe:

$f(x)=({\frac {3}{4}}*x^{2}-3)*e^{1,4-x^{2}}$

Achte Aufgabe:

$f(x)=\ln({\frac {2x-3}{x^{2}+1}})$

Nachschlagewerke

• Ableitung Grundlagen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=GtVWdeevZpw
• Produkt-, Quotienten- und Kettenregel - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=47bKq2lXGs8
• Ableitung Zusammenfassung - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=CV4-_lL85s8
• Ableitungsregeln - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=GtVWdeevZpw
• Brüche ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=y__6V_E8iNE
• Wurzeln ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=NYYbhj3qUAQ
• e-Funktion ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=chf067TZ3dI&list=PLF29x0idI4lVpHeeQJL4HO7gnUkiOZ-nt&index=15
• Logarithmus ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=V2JqlPhcy_M&list=PLF29x0idI4lVpHeeQJL4HO7gnUkiOZ-nt&index=18