Umkehrfunktionen

Was sind eigentlich Umkehrfunktionen?

Wichtig zu Anfang: Eine Umkehrfunktion existiert nur dann, wenn die Funktion bijektiv ist!

Durchführung

Wie geht man vor?

Zuerst gilt Folgendes: Wir setzen die gegebene Funktion "= y".

Wenn wir also folgende Funktion haben:

$f(x)=(x+2)^{2}$

lautet die Gleichung zu Beginn unserer Rechnung:

$y=(x+2)^{2}$

Jetzt lösen wir - wie gehabt - nach x auf:

$y=(x+2)^{2}|{\sqrt {(}})$

${\sqrt {(}}y)=x+2|-2$

${\sqrt {y}}-2=x$

Sobald wir das x "isoliert" haben gilt es einen sogenannten Variablentausch durchzuführen (dann können wir die Umkehrfunktion in das gleiche Schaubild wie die Originalfunktion zeichnen).

In der Praxis tauschen wir dabei die Position aller y mit x aus und umgekehrt. Dies geschieht unter der vollendeten Nicht-Berücksichtigung von Vorzeichen, Faktoren, etc.:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{x}-2 =y}

Damit haben wir unsere Umkehrfunktion:D

Erwähnenswert ist vielleicht noch:

Der Definitionsbereich D der originalen Funktion ist jetzt der Wertebereich W der Umkehrfunktion und umgekehrt.

Beispielaufgaben

Erste Aufgabe:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=\frac{2x}{1+x}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{2x}{1+x} = y |*(1+x)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x=y*(1+x)} -> Ausmultiplizieren:)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x=y+yx |-yx}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x-yx= y} -> Links kann man x ausklammern!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x*(2-y)=y |:(2-y)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=\frac{y}{2-y}}

Und noch der Variablentausch:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=\frac{x}{2-x}}

Zweite Aufgabe:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=20+e^{3x}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=20+e^{3x}|-20}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y-20= e^{3x} |ln(...)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ln(y-20)=3x|:3}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{3}*\ln(y-20)=x}

Variablentausch:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{3}*\ln(x-20)=y}

Nachschlagewerke

• Umkehrfunktionen bestimmen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=X8QDtWIWu6Q
• Umkehrfunktionen Voraussetzungen und Berechnung - MathePeter: https://www.youtube.com/watch?v=KiIcbIrmjWg
• Voraussetzungen für Umkehrfunktionen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=tUUHFqmENvg
• Umkehrfunktionen: Achtung bei x^2 - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=AszdBZugcdo