Regula Falsi

Was ist eigentlich das Regula Falsi Verfahren?

Allgemeine Erklärung

Vorweg: Mit dem Regula Falsi Verfahren werden Nullstellen (zumindest näherungsweise) rechnerisch bestimmt.

Dabei werden 2 anfängliche x-Stellen in eine bestimmte Formel (unten) eingesetzt und das Ergebnis daraus dann in die ursprüngliche Funktion.

Das Ergebnis hieraus gibt genauere Auskunft darüber, in welcher Richtung im Intervall (eher bei Stelle 1 oder eher bei Stelle 2) die Nullstelle liegt. So kann man das Intervall, in dem die Nullstelle liegt, eingrenzen.

Mit dem auf diese Art neu bestimmten Punkt (und einem der Alten) wiederholt man dann das Verfahren so lange bis man mit der Annäherung an die Nullstelle zufrieden ist.

Praxis

Voraussetzungen

Damit eine Funktion in einem Intervall überhaupt eine Nullstelle haben kann müssen 2 Bedingungen erfüllt sein:

1. Die Funktion muss in dem Intervall stetig sein.
2. Die Funktion muss in dem Intervall mit ihren y-Werten einen Vorzeichenwechsel durchführen (egal in welche Richtung).

Meistens wird in Aufgaben zu diesem Verfahren ein Intervall vorgegeben. Sollte das nicht der Fall sein muss man sich selbst 2 (mögliche) Werte heraussuchen. Das Thema Stetigkeit kann man meistens an der Funktion selbst ablesen (x, x^2, x^3, usw. sind wegen ihrer Struktur per Definition stetig).

Den Vorzeichenwechsel kann man überprüfen, indem man die x-Werte in die Funktion einsetzt. Haben die Ergebnisse unterschiedliche Vorzeichen ist alles perfekt.

Erfüllt die Funktion diese Voraussetzungen ist auf jeden Fall eine Nullstelle in dem Intervall vorhanden. Mit dem Regula Falsi Verfahren kann man diese nun bestimmen.

Durchführung

Eine mögliche Aufgabe zu diesem Verfahren könnte lauten:

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{2}-2x+2$. Bestimmen Sie im Intervall $x\epsilon [-2,0]$ die Nullstelle mithilfe des Regula Falsi-Verfahrens.

"Nullter" (Anfangs-)Durchlauf

Für dieses Verfahren braucht man auf jeden Fall 2 Punkte - einen links und einen rechts von der vermuteten Nullstelle - nehmen wir doch einfach mal die Grenzen des gegebenen Intervalls. Der Übersicht halber nennen wir sie einfach mal a und b:

$a_{0}=-2$

$b_{0}=0$

In die Funktion eingesetzt ergeben sie:

$f(-2)=-8+4+2=-2$

$f(0)=0-0+2=2$

Im Regula Falsi-Verfahren baut man sich zur Übersicht meistens eine Tabelle, die ungefähr so aussieht:

n	a_n	x_n	b_n	f(a_n)	f(x_n)	f(b_n)
0	-2		0	-2		2

In dieser Tabelle (und sonst auch) gilt:

n = Die Nummer des aktuellen Durchlaufs (ja, das werden Mehrere). Da wir hier noch mit den Anfangswerten arbeiten ist das hier der "nullte" Durchlauf.

a_n, x_n, b_n, etc. = $a_{n},x_{n},b_{n},$ etc. - ich kann in der Tabelle keinen Mathe-Syntax verwenden:(

Jetzt kommt die oben erwähnte Formel:

$x_{n}={\frac {a_{n}*f(b_{n})-b_{n}*f(a_{n})}{f(b_{n})-f(a_{n})}}$

Ah ja. Vielleicht eine kurze Erklärung:

Wir berechnen unseren nächsten Annäherungspunkt an die Nullstelle ($x_{n}$) indem wir unseren linken Intervallpunkt ($a_{n}$) mit dem y-Wert des zweiten Intervallpunkts ($f(b_{n})$) multiplizieren und davon das Gegenteil abziehen (Zweiter Intervallpunkt mal y-Wert erster Intervallpunkt). Zum Schluss teilen wir das Ganze noch durch den y-Wert des zweiten Intervallpunkts abzüglich des y-Werts des ersten Intervallpunkts.

Klar soweit:)?

Machen wir das Ganze mal für den "nullten" Durchlauf:

$x_{0}={\frac {-2*f(0)-0*f(-2)}{f(0)-f(-2)}}={\frac {-2*2-0*(-2)}{2-(-2)}}={\frac {-4}{4}}=-1$

Das eingesetzt in die Funktion ergibt $f(x_{0})=3$.

Jetzt können wir die erste Zeile unserer Tabelle vervollständigen:

n	a_n	x_n	b_n	f(a_n)	f(x_n)	f(b_n)
0	-2	-1	0	-2	3	2

Okay, und was bringt uns $x_{0}$ jetzt?

Wir haben jetzt einen dritten Punkt auf der y-Achse, der genau in der Mitte unseres Intervalls liegt. Jetzt stellt sich aber die Frage: Ist unsere gesuchte Nullstelle jetzt zwischen -2 und -1 oder zwischen -1 und 0?

Um das herauszufinden setzen wir $x_{0}$ in die ursprüngliche Funktion ein und vergleichen das Vorzeichen mit denen der y-Werte von den ersten beiden Punkten. Hier lautet unser Ergebnis 3. Das ist ein positiver Wert (ach nee?), daher liegt die Nullstelle zwischen -2 und -1.

(Es muss ja für eine Nullstelle immer ein Vorzeichenwechsel stattfinden!)

Daher ist -1 unser neuer rechter Intervallpunkt und bildet im nächsten (ersten) Durchlauf b.

In der Tabelle sieht das dann so aus:

n	a_n	x_n	b_n	f(a_n)	f(x_n)	f(b_n)
0	-2	-1	0	-2	3	2
1	-2		-1	-2		3

(Die linke Grenze a bleibt erhalten und die rechte Grenze verschiebt sich von 0 nach -1 -> Der Bereich, in dem die Nullstelle liegt, wid kleiner!)

Hätten wir ein negatives Ergebnis aus dem Einsetzen bekommen läge die Nullstelle zwischen -1 und 0 und -1 würde nun unser neuer erster Intervallpunkt a sein.

Erster Durchlauf

Jetzt beginnt das ganze Spiel von vorne, nur eben mit neuen Intervallgrenzen.

Wir nehmen uns also das neue b (=-1) und setzen es in die bewährte Formel ein:

$x_{1}={\frac {-2*f(-1)-(-1)*f(-2)}{f(-1)-f(-2)}}={\frac {-2*3-(-1)*(-2)}{3-(-2)}}={\frac {-8}{5}}=-1,6$

Das Ergebnis davon eingesetzt in die Funktion ergibt $f(x_{1})=1,104$.

Die Nullstelle liegt also zwischen -2 und -1,6. Wir arbeiten uns ran:)

Noch schnell die Tabelle pflegen:

n	a_n	x_n	b_n	f(a_n)	f(x_n)	f(b_n)
0	-2	-1	0	-2	3	2
1	-2	-1,6	-1	-2	1,104	3

Und schon können wir weitermachen.

Weitere Durchläufe

Das Prinzip sollte klar sein, oder? Wir wiederholen diese Rechnungen so lange bis wir an einer ausreichend detaillierten Intervallgrenze (oder sogar der Nullstelle selbst) angekommen sind.

Ich nehme die weiteren Durchläufe hier mal vorweg:

n	a_n	x_n	b_n	f(a_n)	f(x_n)	f(b_n)
0	-2	-1	0	-2	3	2
1	-2	-1,6	-1	-2	1,104	3
2	-2	-1,7423	-1,6	-2	0,1959	1,104
3	-2	-1,7653	-1,7423	-2	0,0297	0,1959
4	-2	-1,7687	-1,7653	-2	0,0044	0,0297
5	-2	-1,7692	-1,7687	-2	0,0006	0,0044
6	-2	-1,7693	-1,7692	-2	0,000096	0,0006

Dieses Verfahren könnte man jetzt noch bis in alle Ewigkeit weiterführen.

Hieran sieht man zudem eine weitere Besonderheit der Funktion:

Bei Funktionen, die strikt konvex oder strikt konkav sind passt sich immer nur ein Wert von dem Intervall an (hier b), der Andere bleibt immer unverändert.

Ab einem gewissen Punkt sind die Unterschiede zwischen den errechneten x-Werten, die die neuen Grenzen bilden so gering, dass sich weitere Durchläufe nicht mehr lohnen würden - oder sie sich gar nicht mehr voneinander unterscheiden. Vielleicht hat man auch die Nullstelle gefunden ($f(x_{n})=0$) .

Meistens ist aber (hoffentlich!) eine Grenze vorgegeben, zu der man sich hinarbeiten soll.

Nachschlagewerke

• Regula Falsi Verfahren - MathePeter: https://www.youtube.com/watch?v=qCpcUS3N51I
• Regula Falsi Verfahren - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=EhL77MutTu0