Zahlenmengen

Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen beinhalten alle positiven, ganzen Zahlen,

Übersicht der Zahlenmengen.

KEINE negativen Zahlen, Brüche oder Kommazahlen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N = {1,2,3,4,...}}

Die Null ist standardmäßig nicht mit drin, kann es aber sein. In solchen Fällen wird das noch gekennzeichnet:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N_0 = {0,1,2,3,4,...}}

Ganze Zahlen

Ganze Zahlen beinhalten alle positiven und negativen Zahlen, aber auch hier wieder keine Brüche oder Kommazahlen.

Anders als bei den natürlichen Zahlen ist hier die Null immer mit dabei!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}}

Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen beinhalten fast alle bekannten Zahlen, alle ganzen Zahlen inklusive Brüche und Kommazahlen.

Q = { "ganze Zahlen + Bruchzahlen" }

Irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen sind Zahlen mit unendlich vielen, nicht-periodischen (also scheinbar zufälligen) Nachkommastellen.

Beispiele hierfür sind Pi, e oder die Ergebnisse von Wurzelrechnungen aus Primzahlen.

IR = { "rationale Zahlen + e, Pi, Wurzel 2, usw." }

Irrationale Zahlen sind nicht als Bruch darstellbar!

Komplexe Zahlen

Unser Lieblings-Wirklichkeitsüberbieter Leonhard Euler hatte während seiner Laufbahn ja so einige Ideen. Unter anderem wie man ein Problem wie dieses hier lösen kann:

Problem:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^2 + 1 = 0}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^2 + 1 = 0 |-1}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 = 1 |\surd}

$x=\surd -1|:($

Für negative Wurzeln gibt es bekanntlich keine Lösung ...eigentlich. Denn Herr Euler hatte hierfür eine pfiffige Idee: Er dachte sich eine imaginäre Zahl i aus und definierte Folgendes:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \surd-1 := i}

(i = Wurzel aus 1)

Mit i kann man nun weiterrechnen, also es zum Beispiel potenzieren, die Wurzel daraus ziehen, etc..

Wenn man die obere Definition weiterverwendet kann beispielsweise Folgendes passieren:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i^2 = -1}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i^3 = i * i^2 = i * (-1) = -i}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i^4 = i^2 * i^2 = (-1) * (-1) = 1}

Man kann auch teilen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {1 \over i} = {i^4 \over i} = i^3 = -1}

Und so weiter...

Wichtig ist: