Zinsberechnung

Wie kann man Kapital, Zinssätze, Laufzeiten etc. berechnen?

(Alternative Zinsformeln).

Grundlegende Variablen

Starten wir mit dem Handwerkszeug:

K₀ = Anfangskapital

t = Laufzeit (in Jahren)

K_t = Endkapital (Kapital verzinst über einen Zeitraum von t Jahren).

r = Zinssatz (in Prozent)

Je nach Zinsberechnungsmethode können noch weitere Variablen hinzukommen, dazu aber später mehr.

Einfache Verzinsung

Soll heißen: Zinszahlungen einmal pro Jahr ohne Zinseszins.

Normalform

Grundlegende Berechnungsformel: $K_{t}=K_{0}+r*t*K_{0}$

Alternativ: $K_{t}=(1+r*t)*K_{0}$

Beispielaufgabe:

Auf wieviel wachsen 5000 Euro bei einem Zinssatz von 6 Prozent und einer Laufzeit von dreieinhalb Jahren an?

$K_{3,5}=(1+5\%*3,5)*5000=(1+0,05*3,5)*5000=18375$

A: Auf 18.375 Euro.

Umstellung nach Zinssatz

Wenn man den Zinssatz berechnen soll.

Beispiel: Aus 3000 Euro werden in 3 Jahren 4150 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?

In die Formel eingesetzt: $4150=(1+r*3)*3000$

Jetzt heißt es nach r umstellen:

$4150=(1+r*3)*3000$ | :3000

${\frac {4150}{3000}}=(1+r*3)$ | -1

${\frac {4150}{3000}}-1=r*3$ | :3 / *1/3

${\frac {1}{3}}*({\frac {4150}{3000}}-1)=r=0,1278=12,78\%$

Die umgestellte Formel lautet also:

$r={\frac {1}{t}}*({\frac {K_{t}}{K_{0}}}-1)$

Alternativ funktioniert aber auch Folgendes:

$r={\frac {K_{t}-K_{0}}{K_{0}*t}}$

Beweis gefällig?:

$r={\frac {4150-3000}{3000*3}}={\frac {1150}{9000}}=0,127777=12,78\%$

Exponentielle Verzinsung

Auf Deutsch: Jährliche Verzinsung mit Zinseszins.

Normalform

Basisformel: $K_{t}=(1+r)^{t}*K_{0}$

Beispiel:

Auf wieviel wachsen 5000 Euro bei einem Zinssatz von 5 Prozent und einer Laufzeit von eineinhalb Jahren an?

$K_{1,5}=(1+,05)^{1,5}*5000=5379,65$

A: Auf 5379,65 Euro.

Umstellung nach Zinssatz

Beispiel: Aus 8000 Euro werden in 3 Jahren 9261,32 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?

In die Formel eingesetzt: $9261,32=(1+r)^{3}*8000$

Also wieder umstellen:

$9261,32=(1+r)^{3}*8000$ | :8000

${\frac {9261,32}{8000}}=(1+r)^{3}|{\sqrt[{3}]{}}$

${\sqrt[{3}]{\frac {9261,32}{8000}}}=(1+r)$ | -1

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt[3]{\frac{9261,32}{8000}} -1 = r = \sqrt[3]{1,15774} -1 = 0,05 = 5%}

Die umgestellte Formel lautet also:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r= \sqrt[t]{\frac{K_t}{K_0}} -1}

Unterjährige Verzinsung

Exponentielle Verzinsung, nur mit mehreren Auszahlungen pro Jahr.

Hier kommt - wie schon angedroht - eine neue Variable ins Spiel:

m = Anzahl der Zinszahlungen pro Jahr (z. B. m=2 für halbjährlich, m=4 für vierteljährlich, m=12 für monatlich)

Normalform

Basisformel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_t=(1+\frac{r}{m})^{m*t}*K_0}

Beispiel:

10.000 Euro werden zu einem Zinssatz von 6 Prozent für 2 Jahre angelegt, wobei die Zinsen monatlich berechnet werden. Wie hoch ist das Endkapital?

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_2= (1+\frac{0,06}{12})^{2*12}*10000 = (1+0,005)^{24} * 10000 = 1,12749*10000 =11274,90}

A: 11274,90 Euro

Umstellung nach Zinssatz

Beispiel: