Quantile & Value at Risk

Was sind Quantile?

Berechnung Quantile

Median / Zentralwert

Berechnung: ${\tilde {x}}$ = 50%-Quantil -> Siehe allgemeine Quantil-Berechnung

Wichtig zu wissen:

1. Mindestens die Hälfte aller vorliegenden Daten müssen kleiner oder gleich dem Median sein und
2. Mindestens die Hälfte aller vorliegenden Daten müssen größer oder gleich dem Median sein

Alternative:

Ungerade Anzahl Daten:

(Bei überschaubarer Anzahl):

1. Alle Daten der Größe nach sortiert (von klein nach groß) aufschreiben.
2. In mehreren Schritten jeweils links und rechts eine Zahl gedanklich "wegstreichen".
3. Die letzte übrigbleibende Zahl ist der gesuchte Median.

Gerade Anzahl Daten:

1. Alle Daten der Größe nach sortiert (von klein nach groß) aufschreiben.
2. In mehreren Schritten jeweils links und rechts eine Zahl gedanklich "wegstreichen".
3. Von den letzten beiden übriggebliebenen Zahlen den Mittelwert berechnen ((Zahl 1 + Zahl 2) / 2) -> Das ist der gesuchte Median.

https://www.youtube.com/watch?v=-zOaiuB6RVs

Quantile allgemein

Das gesuchte Quantil lässt sich als Prozentwert (p) ausdrücken:

20%-Quantil = 0,2

50%-Quantil = 0,5

87%-Quantil = 0,87

Multipliziert mit der Anzahl der vorliegenden Daten (n) ergibt das eine neue Zahl (nennen wir sie mal x).

$n*p=x$

Ist diese Zahl x ganzzahlig (keine Nachkommastellen) gilt:

$Quantil={\frac {1}{2}}*(n_{x}+n_{x+1})$ -> 1/2 * (n an der Stelle x + n an der Stelle x+1)

Hat sie hingegen Nachkommastellen gilt:

$Quantil=n_{\lceil {x}\rceil }$ -> n an der Stelle x immer aufgerundet auf die nächste Ganzzahl

Value at Risk

Bezeichnet - je nach gefragtem Fall - das schlimmste was in 95%/98% der Fälle passieren kann.

Wird folgendermaßen berechnet:

1. "Fehlendes" Quantil berechnen: VaR 95% -> 5%-Quantil; VaR 98% -> 2%-Quantil (siehe oben)
2. Quantil "umkehren" -> Ergebnis * -1
3. Fertig.