Beträge
Betrag grundsätzlich:
Was drinsteht ist immer positiv bzw. wird durch den Betrag positiv gemacht.
Beispiele:
|2| = 2
|8| = 8
|-6| = 6
Betragsfunktionen
Das Ganze geht auch mit Funktionen:
Funktion: y = |x|
Schaubild:
Betragsfunktionen haben in ihrem Schaubild immer mindestens einen "cut" bzw. einen Scheitelpunkt, da der Betrag ja auch bei negativen Zahlen für durchweg positive Ergebnisse sorgt.
Da wir in dem Schaubild links den Cut bei x = 0 haben, haben wir für alle x-Werte kleiner null die Funktion y = -x und für alle x-Werte größer null die Funktion y = x.
Mathematisch wird das dann so ausgedrückt:
y = |x| { -x für x < 0; x für x >= 0}
Anderes Beispiel:
Funktion: y = |x - 1| + 2 Schaubild:
Auch hier gilt wieder: Wir nehmen uns den Betrag in der Funktion, setzen diesen >= 0 und lösen nach x auf:
x - 1 >= 0 | +1
x >= 1 -> d. h. bei 1 ist der cut
Die umgekehrten Operatoren bei negativen Zahlen nicht vergessen!
Jetzt wissen wir, dass bei dieser Funktion für alle Werte x >= die Funktion y = x - 1 + 2 gilt. Für x < 1 gilt dann der Betrag * (-1) + 2 (dabei den Rest der Formel (hier + 2) nicht vergessen!)!
Das wird mathematisch so geschrieben:
y = |x-1| { -x + 1 für x < 0; x - 1 für x >= 0}
