Cobb-Douglas Funktionen

Die (für uns) wichtigsten Funktionen in Mikroökonomie. Dann mal los.

Grundlagen

Grundsätzlich sind Cobb-Douglas Funktionen immer gleich aufgebaut. Sie bestehen aus einer zu bestimmenden Größe (Nutzen oder Output/Menge - je nach Aufgabe), 2 verschiedenen Variablen mit jeweils einem Exponenten (die beiden Exponenten addiert ergeben immer 1) und ggf. noch einem "Präfix" für die erste Variable.

Das Ganze sieht dann ungefähr so aus:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U=x_1^{0,5}*x_2^{0,5}}

Oder so:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X=0,75K^{0,6}*N^{0,4}}

Oder auch so:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=3v_1^{0,5}*v_2^{0,5}}

Und wie rechnet man jetzt damit?

Die Antwort ist wie so oft: Es kommt drauf an. Insbesondere auf die Aufgabenstellung und das Szenario. Eine Technik kommt aber ziemlich oft zum Einsatz, die partielle Ableitung.

Partielle Ableitung

Vereinfacht gesagt ist das eine Ableitung in einer Funktion mit mehreren verschiedenen Variablen, jedoch wird davon nur eine einzige abgeleitet. Die übrigen bleiben so wie sie sind.

Beispiel:

Funktion: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U=x_1^{0,5}*x_2^{0,5}}

Ableitung nach x1: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{x1}'=0,5x_1^{-0,5}*x_2^{0,5}}

Ableitung nach x2: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{x2}'=x_1^{0,5}*0,5x_2^{-0,5}}

Ganz einfach, oder?

Noch ein Beispiel:

Funktion: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=3v_1^{0,5}*v_2^{0,5}}

Ableitung nach x1: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{v1}'=1,5v_1^{-0,5}*v_2^{0,5}}

Ableitung nach x2: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{v2}'=3v_1^{0,5}*0,5v_2^{-0,5}}

So viel dazu. Widmen wir uns doch einfach mal den konkreten Anwendungsfällen.

Konsumententheorie

In der Konsumententheorie beschreiben Cobb-Douglas Funktionen in der Regel die Nutzenfunktion eines Haushalts. Heißt: Welchen Nutzen zieht der Haushalt aus dem gleichzeitigen Konsum von 2 verschiedenen Produkten?

Eine Funktion in der Konsumententheorie sieht beispielsweise so aus: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U=x_1^{0,5}*x_2^{0,5}}

Wobei gilt:

U = Nutzen (diesen gilt es zu maximieren).

x1 = Produkt 1

x2 = Produkt 2

Zusätzlich werden diese Funktionen von ein paar anderen Variablen in der Aufgabenstellung ergänzt:

p1 = Preis von Produkt 1

p2 = Preis von Produkt 2

m = Einkommen (Summe, die der Haushalt maximal ausgeben kann, Ziel: Möglichst komplett einsetzen)