Cobb-Douglas Funktionen

Die (für uns) wichtigsten Funktionen in Mikroökonomie. Dann mal los.

Grundlagen

Grundsätzlich sind Cobb-Douglas Funktionen immer gleich aufgebaut. Sie bestehen aus einer zu bestimmenden Größe (Nutzen oder Output/Menge - je nach Aufgabe), 2 verschiedenen Variablen mit jeweils einem Exponenten (die beiden Exponenten addiert ergeben immer 1) und ggf. noch einem "Präfix" für die erste Variable.

Das Ganze sieht dann ungefähr so aus:

$U=x_{1}^{0,5}*x_{2}^{0,5}$

Oder so:

$X=0,75K^{0,6}*N^{0,4}$

Oder auch so:

$Y=3v_{1}^{0,5}*v_{2}^{0,5}$

Und wie rechnet man jetzt damit?

Die Antwort ist wie so oft: Es kommt drauf an. Insbesondere auf die Aufgabenstellung und das Szenario. Eine Technik kommt aber ziemlich oft zum Einsatz, die partielle Ableitung.

Partielle Ableitung

Vereinfacht gesagt ist das eine Ableitung in einer Funktion mit mehreren verschiedenen Variablen, jedoch wird davon nur eine einzige abgeleitet. Die übrigen bleiben so wie sie sind.

Beispiel:

Funktion: $U=x_{1}^{0,5}*x_{2}^{0,5}$

Ableitung nach x1: $U_{x1}'=0,5x_{1}^{-0,5}*x_{2}^{0,5}$

Ableitung nach x2: $U_{x2}'=x_{1}^{0,5}*0,5x_{2}^{-0,5}$

Ganz einfach, oder?

Noch ein Beispiel:

Funktion: $Y=3v_{1}^{0,5}*v_{2}^{0,5}$

Ableitung nach x1: $Y_{v1}'=1,5v_{1}^{-0,5}*v_{2}^{0,5}$

Ableitung nach x2: $Y_{v2}'=3v_{1}^{0,5}*0,5v_{2}^{-0,5}$

So viel dazu. Widmen wir uns doch einfach mal den konkreten Anwendungsfällen.

Konsumententheorie

In der Konsumententheorie beschreiben Cobb-Douglas Funktionen in der Regel die Nutzenfunktion eines Haushalts. Heißt: Welchen Nutzen zieht der Haushalt aus dem gleichzeitigen Konsum von 2 verschiedenen Produkten?

Eine Funktion in der Konsumententheorie sieht beispielsweise so aus: $U=x_{1}^{0,5}*x_{2}^{0,5}$

Wobei gilt:

U = Nutzen (diesen gilt es zu maximieren).

x1 = Produkt 1

x2 = Produkt 2

Zusätzlich werden diese Funktionen von ein paar anderen Variablen in der Aufgabenstellung ergänzt:

p1 = Preis von Produkt 1

p2 = Preis von Produkt 2

m = Einkommen (Summe, die der Haushalt maximal ausgeben kann, Ziel: Möglichst komplett einsetzen)

Je nachdem was nun berechnet werden soll kommt das alles in unterschiedlichem Maße und in unterschiedlichen Kombinationen zu Einsatz.

Optimale Güterkombination

Heißt: Wieviel von jedem Gut/Produkt sollte man kaufen, wenn man das Budget möglichst gut einsetzen will?

Bei Cobb-Douglas gibt es hierfür 2 Formeln, die man verwenden kann:

$x_{1}^{*}=\alpha *{\frac {m}{p_{1}}}$

und

$x_{2}^{*}=(1-\alpha )*{\frac {m}{p_{2}}}$ -> (1 - Alpha) ist der Exponent von x2

Hierbei gilt:

$x_{1}^{*}$ oder $x_{2}^{*}$ = Optimale Konsummenge von Produkt 1 oder 2 (also das was wir suchen!)

$\alpha$ = Exponent von x1 aus der Cobb-Douglas Funktion (nicht vergessen: Beide Exponenten zusammen addiert ergeben immer 1)

Beispiel

Unsere Nutzenfunktion: $U=x_{1}^{0,5}*x_{2}^{0,5}$ (sehr kreativ, ich weiß)

Preis von Produkt 1: p1 = 1€

Preis von Produkt 2: p2 = 2€

Einkommen: m = 200€

Also, welche Güterkombination kauft der Haushalt, wenn man ihm rationales Verhalten unterstellt?

Nehmen wir unsere Formeln zu Hilfe:

$x_{1}^{*}=0,5*{\frac {200}{1}}=100$

$x_{2}^{*}=0,5*{\frac {200}{2}}=50$

Wir sehen: Der Haushalt sollte 100 Exemplare von Produkt 1 und 50 Exemplare von Produkt 2 kaufen.

Änderungen an Produktpreisen

Ist eigentlich das Gleiche wie eben, nur das wir die optimale Menge eines Produktes aufgrund dessen geändertem Preis nun nochmal berechnen müssen.

Nehmen wir doch nochmal unser Beispiel von eben, nur das sich der Preis von Produkt 1 nun verdoppelt.

Beispiel

Neue Preise:

p1 = 2€

p2 = 2€

Einkommen bleibt gleich mit m = 200€

Nochmal die Formeln:

$x_{1}^{*}=0,5*{\frac {200}{2}}=50$

$x_{2}^{*}=0,5*{\frac {200}{2}}=50$

Aufgrund des gestiegenen Preises kauft der Haushalt also nun weniger Exemplare von Produkt 1 (welche Überraschung).

(Gesamt-)Nutzen

Hier gilt es einfach die Cobb-Douglas Funktion unter Einbeziehung aller eben durchgeführten Schritte auszurechnen.

Beispiel

Nehmen wir die eben errechneten optimalen Konsummengen (hier mal vor der Preisänderung) und setzen sie in die Nutzenfunktion ein:

$U=100^{0,5}*50^{0,5}$

Das gilt es jetzt auszurechnen:

$U=100^{0,5}*50^{0,5}={\sqrt {100}}*{\sqrt {50}}={\sqrt {5000}}\approx 70,71$

Und das ist der gesamte Nutzen, den der Haushalt aus dem optimalen Konsum der beiden Produkte zieht.