Preisdiskriminierung nach Verbrauchergruppen

Das wird nicht lustig...

Aufgabe 4.2

"Ein Monopolist bietet ein (homogenes) Gut x auf zwei verschiedenen Märkten an.

Die Preisabsatzfunktionen lauten:

• Für den Markt 1: p1= 80 – 5x1

• Für den Markt 2: p2= 170 – 10x2

Die Kostenfunktion ist gegeben mit K(x) = 40 + 10x

a) Bestimmen Sie rechnerisch die Gesamtpreisabsatzfunktion des Monopolisten, wenn er auf beiden Märkten den gleichen Preis verlangt (Hinweis: Bedenken Sie, dass bei einem Preis > 80 die Nachfrage im Markt 1 gleich null ist.)

b) Ermitteln Sie den gewinnmaximalen Preis des Monopolisten, wenn er auf beiden Märkten den gleichen Preis verlangt. Unterstellen Sie einen Preis < 80.

c) Wie hoch ist der Gewinn des Monopolisten bei einem einheitlichen Preis (aus Aufgabenteil b))?

d) Angenommen, der Monopolist versucht durch Preisdifferenzierung seinen Gewinn über die unter c) ermittelte Höhe hinaus zu vergrößern: Bestimmen Sie rechnerisch die gewinnmaximalen Absatzmengen und Preise auf den beiden Märkten.

e) Wie hoch ist der Gewinn?

f) Nehmen sie an, ein anderer Monopolist wisse, dass auf seinen Teilmärkten die Preiselastizität der Nachfrage auf dem Markt A betragsmäßig geringer sei als auf dem Markt B. Auf welchem Markt würde dieser Monopolist den höheren Preis setzen?"

Teil a

Okay, hier werden wir mehrere "Szenarien" mit mehreren Gleichungen brauchen, je nachdem, wie hoch der finale Preis letztendlich ist bzw. in welcher Größenregion er sich befindet.

Aber eins nach dem Anderen: Stellen wir die Preisabsatzfunktionen für die Nachfrage erst einmal nach ihrem jeweiligen x um.

Markt 1:

$p_{1}=80-5x_{1}$ -> Wird nur bei einem Preis von < 80 aktiv.

$x_{1}=16-{\frac {1}{5}}p_{1}$

Markt 2:

$p_{2}=170-10x_{2}$ -> Wird nur bei einem Preis von < 170 aktiv.

$x_{2}=17-{\frac {1}{10}}p_{2}$

Jetzt lautet die große Frage: Mit welchen "Preisregionen" müssen wir rechnen?

Aus den (ursprünglichen) Formeln geht hervor, dass in Markt 1 der Preis unter 80 sein muss, da die Nachfrage dort ansonsten 0 ist. Ähnlich verhält es sich in Markt 2 mit einer Obergrenze von 170.

Schlussfolgerung: Wir brauchen 3 verschiedene Gesamtpreisabsatzfunktionen: Eine für einen Preis unter 80, eine für einen Preis zwischen 80 und 170 und eine für einen Preis über 170.

Letztere gestaltet sich zum Glück recht unkompliziert (x=0). Für den Rest legen wir die Funktionen zusammen bzw. verwenden die Funktion, die in dem Preisbereich aktiv ist.

Das heißt also:

Wenn p > 170: $x=0$ -> Keine Nachfrage in beiden Märkten

Wenn 80 < p < 170: $x=17-{\frac {1}{10}}p$ -> Nachfrage nur in Markt 2

Wenn p < 80: $x=x_{1}+x_{2}$ -> In beiden Märkten Nachfrage

$x=16-{\frac {1}{5}}p+17-{\frac {1}{10}}p=33-{\frac {3}{10}}p$

Man kann die kombinierte Funktion jetzt auch wieder nach p umstellen:

$x=33-{\frac {3}{10}}p$

$p=110-{\frac {10}{3}}x$

Teil b

"Den gewinnmaximalen Preis, wenn er auf beiden Märkten den gleichen Preis unter 80 verlangt...". Na dann.

Da wir hier einen Monopolisten haben gilt - wie immer bei Monopolisten - Grenzerlöse = Grenzkosten.

Wir haben hier einen Preis unter 80, wir nehmen also unsere kombinierte Preisabsatzfunktion. Schritt 1 ist wie immer die Bestimmung der Erlösfunktion (*x).

$E(x)=(110-{\frac {10}{3}}x)*x=110x-{\frac {10}{3}}x^{2}$