Portfoliotheorie

Zur Abwechslung mal etwas wirklich Relevantes. Es geht um Renditen, Beta und CAPM.

Theorie

Marktrisikoprämie

Auf Deutsch: "Was bekomme ich eigentlich dafür, dass ich in etwas Riskanteres als die risikolose Anlage investiere?"

Die Marktrisikoprämie ist zum Glück recht schnell berechnet: Man zieht den risikolosen Zinssatz (z. B. US treasury bonds) von der erwarteten Rendite des Marktes (z. B. des S&P 500) ab:

$Marktrisikopraemie=E(r_{m})-r_{f}$

Wenn wir also annehmen, dass die treasury bonds bei 4% notieren und man 12% Marktwachstum erwartet lautet die Rechnung:

$12\%-4\%=8\%=Marktrisikopraemie$

Erwartete Rendite

Zusätzlich zu den beiden Kennzahlen von eben spielt jetzt noch das Beta unseres Investments eine Rolle. Im Regelfall investieren wir nicht in den Markt selber (obwohl das in den meisten Fällen ein smarter Move wäre) sondern in ein bestimmtes Projekt oder Portfolio oder Papier. Die Formel für dessen erwartete Rendite lautet:

$E(r_{i})=r_{f}+(r_{m}-r_{f})*\beta$

Wenn wir für unser Investment also die Zahlen von eben sowie ein Beta von 1,5 annehmen lautet die Rechnung:

$E(r_{i})=4\%+(12\%-4\%)*1,5=0,16=16\%$

Perfekt, weiter im Text.

Beta

Da wir es eben schon hatten: Was ist denn, wenn man das Beta selber berechnen soll?

Die allgemeine Formel für das Beta lautet:

$\beta ={\frac {cov(r_{i},r_{M})}{var(r_{M})}}={\frac {\sigma _{iM}}{\sigma _{M}^{2}}}={\frac {\rho _{iM}*\sigma _{M}*\sigma _{i}}{\sigma _{M}^{2}}}$

Keine Sorge, diese Formel brauchen wir (vermutlich) nur selten.

Einzeltitel

Wenn einem die erwartete Rendite zur Verfügung gestellt wird ist das recht simpel: Wir stellen die Formel von eben einfach um.

Wenn wir eine Rendite von 11,2% erwarten lautet unsere Rechnung:

$0,112=0,04+(0,12-0,04)*\beta$

$0,112=0,04+0,08*\beta$ | -0,04

$0,072=0,08*\beta$ | /0,08

$\beta =0,9$

Unser Investment korreliert also ziemlich stark mit dem Gesamtmarkt.

Portfolios

Es gibt - je nach Aufgabe - auch einen anderen Weg das (Gesamt-)Beta zu bestimmen. Wenn vom systematischen Risiko die Rede ist, ist das Beta gemeint! Und wenn das Beta von den einzelnen Papieren des Portfolios schon vorliegt können wir das Gesamtbeta auch recht schnell bestimmen.

Nehmen wir mal das folgende Portfolio an:

Aktie	Investition	Beta
1	5.000	0,75
2	10.000	1,10
3	8.000	1,36
4	7.000	1,88

Als erstes brauchen wir die insgesamt investierte Summe. Nichts leichter als das:

$5.000+10.000+8.000+7.000=30.000$

Wenn wir jetzt das Beta der einzelnen Aktien entsprechend ihres Anteils am Portfolio addieren kommen wir auf das Gesamtbeta:

$\beta _{p}={\frac {5}{30}}*0,75+{\frac {10}{30}}*1,10+{\frac {8}{30}}*1,36+{\frac {7}{30}}*1,88=1,293$

Erwarteter Wert

Da wir nun das Beta unseres Portfolios wie auch immer bestimmt haben können wir auch die Frage beantworten, wie sich der Wert in x Jahren entwickelt haben wird.

Mithilfe des Betas können wir - wie gehabt - die erwartete Rendite in Prozent ausrechnen:

(4% risikoloser Zinssatz, 15% erwartete Marktrendite, Beta siehe oben).

$E(r_{p})=4\%+(15\%-4\%)*1,293=18,223\%$

Die jetzt wiederum multipliziert mit dem derzeitigen Portfoliowert ergibt den Wert des Portfolios in einem Jahr:

$30.000*1,18223=35.466,90$

Für mehr Jahre einfach die altbewährte Zinseszinsformel benutzen:)

Kritik am CAPM

Das CAPM-Modell hat definitiv seine Schwachstellen:

1. Es basiert auf Daten aus der Vergangenheit -> Diese verändern sich aber dauernd.
2. Es unterstellt das Homo Oeconomicus-Modell, nachdem Investoren immer rational handeln -> Das tun sie aber nicht!
3. Es unterstellt, dass es einen risikolosen Zinssatz gibt -> Obwohl man das Risiko minimieren kann gibt es aber keine Rendite ohne Risiko.
4. Es nimmt an, dass jederzeit beliebig viel Geld zu einem bestimmten Zinssatz aufgenommen und investiert werden kann -> Haha, viel Glück.
5. Es geht davon aus, dass Finanzmärkte vollkommen sind -> Das sind sie nicht, siehe Insider-Handel, Trading-Psychologie oder Super-Investoren.
6. Es nimmt ein Marktportfolio an -> Was ist das denn bitteschön? Ein Index, ein Land oder der Weltmarkt?
7. Es ignoriert jede Form von (Transaktions-)kosten und Steuern -> Kann ich in der Praxis nicht empfehlen:(

Warum halten wir uns also überhaupt damit auf? Nun, weil schlicht und ergreifend nichts Besseres gibt:(.