Binomische Formeln

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Kurzer Recap der binomischen Formeln (zum Glück müssen wir die nicht herleiten oder gar beweisen...).

Übersicht Formeln

Erste binomische Formel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}


Zweite binomische Formel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}

Dritte binomische Formel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a+b)*(a-b) = a^2 - b^2}

Einfache Beispiele

Erste binomische Formel

Erstes Beispiel:

Gegeben ist folgender Term (egal ob alleinstehend oder als Teil einer Funktion):

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3x+4)^2} Hier wird also die erste binomische Formel angewandt.

Anhand der Term-Struktur kann man schon ablesen, dass das Ergebnis ungefähr so aussehen wird: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a x^2 + b x + c}

Lösen wir das Ganze also:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3x+4)^2 = (3x)^2 + 2*3x*4 + 4^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 9x^2 + 24x + 16}

Wie man sieht hat sich die anfänglich vermutete Struktur bestätigt.

Zweites Beispiel:

Gegeben ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\frac{1}{2} x + \frac{3}{4} y)^2} -> Vermutetes Aussehen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax^2 + bxy + cy^2}

Auflösung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\frac{1}{2} x + \frac{3}{4} y)^2 = (\frac{1}{2} x)^2 + 2* \frac{1}{2} x* \frac{3}{4} y + (\frac{3}{4} y)^2} --> In der Mitte kann die 2 mit der 2 aus 1/2 gekürzt werden! --> 1 x * 3/4 y

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = (\frac{1}{2})^2*x^2 + \frac{3}{4}x y + (\frac{3}{4})*y^2} --> Bruchrechenregeln nicht vergessen! --> Zähler und Nenner müssen potenziert werden!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{1}{4} x^2 + \frac{3}{4} xy + \frac{9}{16} y^2}

Und wieder hat sich die vermutete Struktur bewahrheitet:)

Zweite binomische Formel

Erstes Beispiel:

Gegeben ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ( \frac{1}{4} a - \frac{1}{6} b )^2} -> Vermutetes Aussehen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle xa^2 - yab + zb^2}

Auflösung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ( \frac{1}{4} a - \frac{1}{6} b )^2 = (\frac{1}{4} a)^2 - 2* \frac{1}{4} a * \frac{1}{6} b + (\frac{1}{6} b)^2 } --> In der Mitte kann die 2 mit der 4 aus 1/4 gekürzt werden! --> 1 * 1/2 a * 1/6 b

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = (\frac{1}{4})^2* a^2 - \frac{1}{2}a * \frac{1}{6} b + (\frac{1}{6})* b^2} --> Bruchrechenregeln...

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{1}{16} a^2 - \frac{1}{12} xy + \frac{1}{36} b^2}

Dritte binomische Formel

Erstes Beispiel:

Gegeben ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ( \frac{1}{2} s - \frac{3}{4} t )*( \frac{1}{2} s + \frac{4}{4} t )} -> Vermutetes Aussehen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle as^2 - bt^2}

Auflösung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ( \frac{1}{2} s - \frac{3}{4} t )*( \frac{1}{2} s + \frac{4}{4} t )}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = (\frac{1}{2}s)^2 - (\frac{3}{4}t)^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = (\frac{1}{2})^2 s - (\frac{3}{4})^2 t}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{1}{4} s^2 - \frac{9}{16} t^2}

Binomische Formeln mit negativen Zahlen

Gegeben ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-3x - 2)^2} -> Zweite binomische Formel -> Vermutetes Aussehen: ax^2 - bx + c

Auflösung:

Erste Vorgehensweise:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-3x-2)^2 = (-3x)^2 + 2*(-3x)*2 + 2^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 9x^2 - (-6)x*2 + 4} --> Vorzeichen beachten! --> Minus mal Minus = Plus!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 9x^2 + 12x + 4}

Zweite Vorgehensweise:

Erster Schritt, um das Minus vor dem 3x wegzubekommen: (-1) ausklammern! (können wir hier machen weil wir sowohl -3x als auch -2 haben) (Potenz nicht vergessen!)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-3x - 2)^2 = ((-1)*(3x+2))^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 1 * (3x + 2)^2}

Der Rest funktioniert nach dem bewährten Verfahren, nur ab jetzt mit der ersten binomischen Formel (das Minus in der Mitte haben wir ja ausgeklammert:) ) .

Binomische Formeln mit Wurzeln

Terme vereinfachen

Nachschlageverzeichnis

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