Binomische Formeln

Kurzer Recap der binomischen Formeln (zum Glück müssen wir die nicht herleiten oder gar beweisen...).

Übersicht Formeln

Erste binomische Formel: $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Zweite binomische Formel: $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Dritte binomische Formel: $(a+b)*(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Einfache Beispiele

Erste binomische Formel

Erstes Beispiel:

Gegeben ist folgender Term (egal ob alleinstehend oder als Teil einer Funktion):

$(3x+4)^{2}$ Hier wird also die erste binomische Formel angewandt.

Anhand der Term-Struktur kann man schon ablesen, dass das Ergebnis ungefähr so aussehen wird: $ax^{2}+bx+c$

Lösen wir das Ganze also:

$(3x+4)^{2}=(3x)^{2}+2*3x*4+4^{2}$

$=9x^{2}+6x*4+16$

$=9x^{2}+24x+16$

Wie man sieht hat sich die anfänglich vermutete Struktur bestätigt.

Zweites Beispiel:

Gegeben ist $({\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{4}}y)^{2}$ -> Vermutetes Aussehen: $ax^{2}+bxy+cy^{2}$

Auflösung:

$({\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{4}}y)^{2}=({\frac {1}{2}}x)^{2}+2*{\frac {1}{2}}x*{\frac {3}{4}}y+({\frac {3}{4}}y)^{2}$ --> In der Mitte kann die 2 mit der 2 aus 1/2 gekürzt werden! --> 1 x * 3/4 y

$=({\frac {1}{2}})^{2}*x^{2}+{\frac {3}{4}}xy+({\frac {3}{4}})*y^{2}$ --> Bruchrechenregeln nicht vergessen! --> Zähler und Nenner müssen potenziert werden!

$={\frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {3}{4}}xy+{\frac {9}{16}}y^{2}$

Und wieder hat sich die vermutete Struktur bewahrheitet:)

Zweite binomische Formel

Erstes Beispiel:

Gegeben ist $({\frac {1}{4}}a-{\frac {1}{6}}b)^{2}$ -> Vermutetes Aussehen: $xa^{2}-yab+zb^{2}$

Auflösung:

$({\frac {1}{4}}a-{\frac {1}{6}}b)^{2}=({\frac {1}{4}}a)^{2}-2*{\frac {1}{4}}a*{\frac {1}{6}}b+({\frac {1}{6}}b)^{2}$ --> In der Mitte kann die 2 mit der 4 aus 1/4 gekürzt werden! --> 1 * 1/2 a * 1/6 b

$=({\frac {1}{4}})^{2}*a^{2}-{\frac {1}{2}}a*{\frac {1}{6}}b+({\frac {1}{6}})*b^{2}$ --> Bruchrechenregeln...

$={\frac {1}{16}}a^{2}-{\frac {1}{12}}xy+{\frac {1}{36}}b^{2}$

Dritte binomische Formel

Erstes Beispiel:

Gegeben ist $({\frac {1}{2}}s-{\frac {3}{4}}t)*({\frac {1}{2}}s+{\frac {4}{4}}t)$ -> Vermutetes Aussehen: $as^{2}-bt^{2}$

Auflösung:

$({\frac {1}{2}}s-{\frac {3}{4}}t)*({\frac {1}{2}}s+{\frac {4}{4}}t)$

$=({\frac {1}{2}}s)^{2}-({\frac {3}{4}}t)^{2}$

$=({\frac {1}{2}})^{2}s-({\frac {3}{4}})^{2}t$

$={\frac {1}{4}}s^{2}-{\frac {9}{16}}t^{2}$