Maximum und Minimum

Machen wir doch mal was mit Mengen. Kann diesmal auch etwas abgedrehter sein.

Basics

Wir nehmen uns eine endliche und nicht leere Menge A. Die die sieht hier mal so aus:

A = {1,2,3,4,5}

Maximum und Minimum bedeutet jetzt nichts anderes als alle Elemente der Mange zu nehmen und das größte bzw. das kleinste Element als Ergebnis zu liefern.

Also:

min(1,2,3,4,5) = 1

und

max(1,2,3,4,5) = 5

Anstelle von A schreibt man übrigens alle Werte in die Klammern von min oder max. Habe ich mir auch nicht ausgedacht :(

Somit bezeichnen Minimum und Maximum den Anfang bzw. das Ende eines Intervalls.

Sonderfall:

Es gibt ein Minimum bei einer Menge, die alle natürlichen Zahlen beinhaltet (da die kleinste Zahl der natürlichen Zahlen definitiv 1 bzw. 0 ist).

min($N$) = 1 bzw. min($N_{0}$) = 0

Dies gilt allerdings nur für das Minimum der natürlichen Zahlen - das Maximum ist unendlich und andere Zahlenmengen haben auch unendlich kleine Zahlen.

Herleitungen und Schaubilder

Grafisch kann man Minimum und Maximum so darstellen:

Grafische Darstellung von Minimum und Maximum.

Wie man sieht gilt Folgendes:

(Wir nehmen hier eine Menge von den 2 Werten a und b an).

Die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum eines Intervalls (die sogenannte Spannweite) ist per Definition positiv. Daher lautet die Gleichung:

max(a,b) - min(a,b) = |a - b|

Der Mittelwert bzw. der Mittelpunkt zwischen Minimum und Maximum des Intervalls kann folgendermaßen berechnet werden: ${\frac {a+b}{2}}$

Die Distanz vom Maximum oder Minimum zum Mittelwert lässt sich wiederum wie folgt modellieren: ${\frac {|a-b|}{2}}$

Alternative Berechnungsmöglichkeiten

Das Maximum lässt sich (wie oben zu sehen) auch wie folgt berechnen:

max(a,b) = ${\frac {a+b+|a-b|}{2}}$