Maximum und Minimum

Machen wir doch mal was mit Mengen. Kann diesmal auch etwas abgedrehter sein.

Basics

Wir nehmen uns eine endliche und nicht leere Menge A. Die die sieht hier mal so aus:

A = {1,2,3,4,5}

Maximum und Minimum bedeutet jetzt nichts anderes als alle Elemente der Mange zu nehmen und das größte bzw. das kleinste Element als Ergebnis zu liefern.

Also:

min(1,2,3,4,5) = 1

und

max(1,2,3,4,5) = 5

Anstelle von A schreibt man übrigens alle Werte in die Klammern von min oder max. Habe ich mir auch nicht ausgedacht :(

Somit bezeichnen Minimum und Maximum den Anfang bzw. das Ende eines Intervalls.

Sonderfall:

Es gibt ein Minimum bei einer Menge, die alle natürlichen Zahlen beinhaltet (da die kleinste Zahl der natürlichen Zahlen definitiv 1 bzw. 0 ist).

min($N$) = 1 bzw. min($N_{0}$) = 0

Dies gilt allerdings nur für das Minimum der natürlichen Zahlen - das Maximum ist unendlich und andere Zahlenmengen haben auch unendlich kleine Zahlen.

Herleitungen und Schaubilder

Grafisch kann man Minimum und Maximum so darstellen:

Grafische Darstellung von Minimum und Maximum.

Wie man sieht gilt Folgendes:

(Wir nehmen hier eine Menge von den 2 Werten a und b an).

Die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum eines Intervalls (die sogenannte Spannweite) ist per Definition positiv. Daher lautet die Gleichung:

max(a,b) - min(a,b) = |a - b|

Der Mittelwert bzw. der Mittelpunkt zwischen Minimum und Maximum des Intervalls kann folgendermaßen berechnet werden: ${\frac {a+b}{2}}$

Die Distanz vom Maximum oder Minimum zum Mittelwert lässt sich wiederum wie folgt modellieren: ${\frac {|a-b|}{2}}$

Alternative Berechnungsmöglichkeiten

Das Maximum lässt sich (wie oben zu sehen) auch wie folgt berechnen:

max(a,b) = ${\frac {a+b+|a-b|}{2}}$

Anwendung bei Optionen

Call-Optionen:

Unter der Annahme, dass keine Optionsprämie gezahlt wird, kann man eine Option mathematisch so darstellen:

Mathematische Darstellung einer Call-Option.

Hierbei gilt:

S = Preis des Underlying Assets

K = Kaufpreis, den die Option einräumt

Z = Auszahlungsprofil (Profit aus der ganzen Sache)

Hier wird der Kaufpreis, den man durch die Option in Anspruch nehmen kann (K) vom aktuellen Preis des Assets (S) abgezogen.

Ist der Call-Preis höher als der Marktwert wird man natürlich immer zum Marktwert kaufen und die Option verfallen lassen. Ist der Call-Preis jedoch geringer als der aktuelle Kurs kommt man in die Gewinnzone - umso deutlicher je höher diese Differenz wird.

Ja nachdem, was geschieht verfällt die Option oder man macht durch die Differenz Gewinn. Daher ist das "Auszahlungsprofil" immer entweder null oder die erwähnte Differenz, die per Definition größer null ist.

Z = max(0,S - K)

Put-Optionen:

Gleiches Spiel wie eben, nur dieses Mal mit einer Put-Option:

Mathematische Darstellung einer Put-Option.

Dieses mal wird der aktuelle Marktwert S vom Vorzugspreis K abgezogen. Wenn der Verkaufspreis des Assets am Markt höher ist als durch die Option lässt man diese logischerweise verfallen.

Die grafische Darstellung ist daher umgekehrt: Je kleiner der Marktwert desto höher die Gewinnspanne:

Z = max(0, K - S)

Long Foward:

Kombinieren wir das Ganze im Rahmen einer Long-Foward-Strategie. Wir gehen also Long bei der Call- und Short bei der Put-Option:

Mathematische Darstellung einer Long-Foward-Strategie.

Hier werden jetzt die (eventuellen) Profite aus dem Kauf der Long und dem Verkauf der Put-Option aufeinander aufgerechnet.

Da wir die Put-Option verkauft haben müssen wir unser Asset für unter Marktwert hergeben (angenommen die Option wird ausgeübt), also ziehen wir die Put-Funktion von der Call-Funktion ab.

Das Maximum der Put-Option lässt sich an dieser Stelle umformen:

max(0, K - S) = min(0, S - K)

Somit haben wir die Formel für die Spannweite eines Intervalls (wir erinnern uns: max(a,b) - min(a,b) = |a - b|), die per Definition positiv ist.

Somit gilt in unserer Long-Foward-Strategie:

Z = S - K

Auszahlungsprofil = Marktwert d. u. Assets - Vorzugspreis