Kostendifferenzierung

Differenzieren wir mal Kosten, einfach so zur Entspannung, rein sozial...

Grundsätzliches

(Ich darf - wie schon so oft - an dieser Stelle auf meine BWL-Mathe page verweisen? Die werden wir hier mal wieder brauchen)

Bei dem vielleicht recht einschüchternden Begriff der Kostendifferenzierung geht es in der Praxis um die gute, alte Funktionsrechnung: x ausrechnen, Funktionen gleichsetzen, Funktionen ableiten, etc..

Ausgegangen wird dieses Mal von 2 Funktionen:

Gesamtkostenfunktion (oder einfach Kostenfunktion) K: $K(x)=K_{F}+x*k_{V}$

wobei:

K_F = Fixkosten

x = Anzahl der hergestellten Produkte

K_V = variable Kosten pro Stück

Betriebsergebnisfunktion (a.k.a. Gewinnfunktion) G: $G(x)=p*x-K$

(Wir sparen uns hier den Zwischenschritt über die Erlösfunktion E)

wobei:

p = Verkaufspreis pro Stück

x = Anzahl der verkauften Produkte

K = Gesamtkostenfunktion (hier unbedingt auf die Vorzeichen achten!)

Soviel dazu. Haben wir doch alles schon hundert Mal gemacht. Ab an die Aufgaben.

Praxis

Beispiel 1

Die Schraube, Hut und Pfusch AG produziert eines ihrer Produkte unter den folgenden Bedingungen:

Fixkosten K_F: 1.000.000 EUR

Kosten pro Stück K_V: 250 EUR

Stückpreis p: 1.500 EUR

Geplante Absatzmenge x: 1.000 Stück

Werden mehr als 1.100 Stück produziert entstehen zusätzliche Fixkosten in Höhe von 200.000 EUR.

a) Bitte Kostenfunktion, Erlösfunktion und Gewinnfunktion/Betriebsergebnisfunktion aufstellen.

b) Wie hoch ist der Gewinn/das Betriebsergebnis, falls die geplante Absatzmenge erreicht wird?

c) Wie verändert sich der Gewinn, wenn der Preis um 5% gesenkt, die Absatzmenge aber um 20% erhöht wird?

d) Wie hoch muss der Preis bei einer Absatzmenge von genau 1.100 Stück sein, um einen Gewinn von 400.000 EUR zu erzielen?

Dann mal los:

a)

Kostenfunktion:

$K(x)=250x+1.000.000$

Erlösfunktion:

$E(x)=1500x$

Gewinnfunktion/Betriebsergebnisfunktion:

$G(x)=1500x-250x-1.000.000$

Leicht, oder?

b)

Einfach die Absatzmenge anstelle von x einsetzen:

$G(x)=1500*1000-250*1000-1.000.000$

$G(x)=250.000\mathrm {\euro}$

Der Gewinn beträgt also 250.000 EUR.

c)

Jetzt ändern sich einige Beträge in der Gewinnfunktion:

$G(x)=(1500*0,95)*1200-250*1200-1.000.000-200.000$

(Nicht vergessen: Bei mehr als 1.100 verkauften Produkten fallen nochmal 200.000 EUR Fixkosten an!)

$G(x)=1425*1200-250*1200-1.200.000$

$G(x)=210.000$

Hier muss man kurz nachdenken, aber das sollte auch machbar sein, oder?

d)

Okay, jetzt gilt es die Funktion umzustellen:

$400.000=1100p-250*1100-1.000.000$

(Achtung: Die zusätzlichen Fixkosten fallen erst an, wenn mehr als 1100 Stück produziert werden)

Einmal nach p auflösen:

$400.000=1100p-250*1100-1.000.000$

$400.000=1100p-1.275.000$ |+1.275.000

$1.675.000=1100p$ |/1100

$p=1522,73$

Der Stückpreis muss also 1.522,73 EUR betragen.

Beispiel 2

Die Walzwerke Willibald Wummert sind in die Produktion von Konservendosen eingestiegen. Die Gesamtkosten K für die Herstellung von x Dosen lassen sich wie folgt beschreiben: $K(x)=500+4x+0,02x^{2}$

a) Wie hoch sind die Gesamtkosten, wenn 400 Dosen produziert werden?

b) Wie lautet die Stückkostenfunktion und wie hoch sind die Stückkosten bei 400 produzierten Dosen?

c) Wie lautet die Grenzkostenfunktion und wie hoch sind die Grenzkosten bei 400 produzierten Dosen?

Dann mal frisch ans Werk:

a)

Einmal einsetzen bitte:

$K(400)=500+4*400+0,02*400^{2}$

$K=5300$

b)

Die Stückkostenfunktion erhält man ja bekanntlich, wenn man die komplette Kostenfunktion durch x teilt:

$k(x){\frac {500+4x+0,02x^{2}}{x}}$

Hier jetzt noch x=400:

$k(400){\frac {500+4*400+0,02*400^{2}}{400}}=13,25$

c)

Und noch die Grenzkosten. Jetzt gilt es die Funktion einmal abzuleiten:

$K(x)=500+4x+0,02x^{2}$

$K'(x)=4+0,04x$

Nochmal einsetzen:

$K'(400)=4+0,04*400=20$

Und fertig:)