BWL-Mathe

Alles über die Berechnung von Preisen, Gewinnmaxima, Sättigungsmengen, etc.

By the way: Hier wird überall von monopolartigen Unternehmen ausgegangen!

Grundsätzliches

Grundsätzlich gibt es bei derlei BWL-bezogenen Aufgaben immer 4 Funktionen (ja, einfach nur ganz gewöhnliche Funktionen):

Eine Kostenfunktion K(x), die die Kosten pro erzeugter Einheit eines Produkts darstellt.

Eine Preis-Absatz-Funktion p(x), die den erzielbaren Preis bei einer bestimmten Menge (x) eines Produkts abbildet.

Eine Erlösfunktion E(x), die den Erlös (a.k.a. Umsatz) aus dem Verkauf einer Einheit eines Produkts darstellt.

Und eine Gewinnfunktion G(x), die den letztendlichen Gewinn - also Umsatz minus Kosten - aus dem Verkauf eines Produkts modelliert.

x ist bei all diesen Funktionen übrigens die Anzahl der hergestellten/verkauften Produkte.

Herleitung

Meistens sind diese Funktionen nicht alle gegeben. Kein Problem, wirklich wichtig sind eigentlich nur die Kosten- und die Preis-Absatz-Funktion, da sich aus Diesen die beiden anderen Funktionen herleiten lassen:

Die Erlösfunktion ist nichts anderes als die Preis-Absatz-Funktion multipliziert mit x:

E(x) = p(x) * x

Ähnliches gilt bei der Gewinnfunktion:

Wie eben schon erwähnt ist der Gewinn ja nichts anderes als der Umsatz (pardon, die Erlöse) abzüglich der Kosten:

G(x) = E(x) - K(x)

Alles, was in solchen Aufgaben drankommen kann ist jetzt einfach nur spielen mit diesen Funktionen.

In meinen Beispielen sind die Anfangsfunktionen schon gegeben. Es kann aber durchaus sein, dass man die sich aus dem Text erst selbst herleiten muss (immer dran denken: x ist die Anzahl der Produkte).

Gewinnzone

Hier gilt es zunächst die Gewinnfunktion G(x) zu bestimmen (falls nicht schon vorhanden) und anschließend ihre Nullstellen zu berechnen. Das Intervall zwischen der linken und der rechten Nullstelle (bzw. 0 falls die linke Nullstelle negativ sein sollte) ist dann die Gewinnzone.

Beispiel

Kostenfunktion: K(x) = 3x + 11,5

Preis-Absatz-Funktion: p(x) = -0,5x + 15

Erlösfunktion bestimmen:

$E(x)=p(x)*x$

$=(-0,5x+15)*x$

$=-0,5x^{2}+15x$

Gewinnfunktion bestimmen:

$G(x)=E(x)-K(x)$

$=(-0,5x^{2}+15x)-(3x+11,5)$

$=-0,5x^{2}+15x-3x-11,5=-0,5x^{2}+12x-11,5$

$G(x)=-0,5x^{2}+12x-11,5$

Nullstellen bestimmen:

$-0,5x^{2}+12x-11,5=0$ -> ABC-/PQ-Formel

$x_{1,2}={\frac {-12\pm {\sqrt {12^{2}-4*(-0,5)*(-11,5)}}}{2*(-0,5)}}={\frac {-12\pm {\sqrt {144-23}}}{-1}}={\frac {-12\pm 11}{-1}}$

$x_{1}=1,x_{2}=23$

Damit ist unsere Gewinnzone (GZ) = [1,23]

Gewinnmaximum

Gewinnmaximum = Hochpunkt der Gewinnfunktion G(x)!

Die Vorgehensweise sollte damit klar sein:

1. Die Gewinnfunktion einmal ableiten
2. Die Ableitung G'(x) = 0 setzen
3. Das Ergebnis überprüfen, also:
4. ENTWEDER die Funktion nochmal ableiten, dann das Ergebnis von eben in G''(x) einsetzen und schauen, ob das Ergebnis < 0 ist
5. ODER jeweils einen Punkt links und rechts des Ergebnisses nehmen, diese in G'(X) einsetzen und schauen, ob das Ergebnis beim linken Punkt positiv ist und beim rechten negativ.
6. Nach der Überprüfung den bestimmten x-Wert in die Original-Funktion einsetzen, um die zugehörige y-Koordinate zu bestimmen.

Beispiel

Kostenfunktion: $K(x)=x^{3}-10x^{2}+40x+200$

Preis-Absatz-Funktion: $p(x)=400-7x$

Erlösfunktion bestimmen:

$E(x)=p(x)*x$

$=(400-7x)*x$

$=-7x^{2}+400x$

Gewinnfunktion bestimmen:

$G(x)=E(x)-K(x)$

$=(-7x^{2}+400x)-(x^{3}-10x^{2}+40x+200)$

$=-7x^{2}+400x-x^{3}+10x^{2}-40x-200$

$=-x^{3}+3x^{2}+360x-200$

Ableiten:

$G(x)=-x^{3}+3x^{2}+360x-200$

$G'(x)=-3x^{2}+6x+360$

Extrempunkt berechnen:

$-3x^{2}+6x+360=0$

$x_{1,2}={\frac {-6\pm {\sqrt {6^{2}-4*(-3)*360}}}{2*(-3)}}={\frac {-6\pm {\sqrt {36+4320}}}{-6}}={\frac {-6\pm 66}{-6}}$

$x_{1}=12,(x_{2}=-10)$

Der Kandidat für den Hochpunkt ist also bei x = 12. Negative Extrempunkte interessieren uns in diesem Kontext nicht.

Extrempunkt überprüfen:

$G''(x)=-6x+6$

$G''(12)=-6*12+6$

$=-66$ -> Ergebnis ist < 0 -> x=12 ist ein Hochpunkt!

Einsetzen in G(x):

$G(12)=-12^{3}+3*12^{2}+360*12-200$

$=2824$

Einsetzen in p(x):

$p(12)=400-7*12$

$=316$

Das Gewinnmaximum liegt bei x = 12, also erzielt das Unternehmen bei einem Produktpreis von 316 GE den maximalen Gewinn. Dieser maximale Gewinn beträgt 2824 GE.

Erlösmaximum

Das gleiche Spiel wie eben (beim Gewinnmaximum), nur dieses Mal mit der Erlösfunktion E(x).

Kleine Anmerkung am Rande: Falls zusätzlich zum Gewinn-/Erlös-Maximum noch ein zugehöriger Preis berechnet werden soll, einfach das Ergebnis aus der Maximum-Rechnung in die Preis-Absatz-Funktion k(x) einsetzen und ausrechnen!

Beispiel

Preis-Absatz-Funktion: $p(x)=-{\frac {1}{3}}x+3$

Erlösfunktion bestimmen:

$E(x)=p(x)*x$

$E(x)=(-{\frac {1}{3}}x+3)*x$

$=-{\frac {1}{3}}x^{2}+3x$

Ableiten:

$E(x)=-{\frac {1}{3}}x^{2}+3x$

$E'(x)=-{\frac {2}{3}}x+3$

Extrempunkt berechnen:

$-{\frac {2}{3}}x+3=0|-3$

$-{\frac {2}{3}}x=-3|:(-{\frac {2}{3}})$

$x=4,5$

Extrempunkt überprüfen:

Mit der zweiten Ableitung in diesem Fall sehr einfach (obwohl man es auch einfach ablesen könnte):

$E''(x)=-{\frac {2}{3}}$

$E''(4,5)=-{\frac {2}{3}}$ -> Ergebnis ist < 0 -> Hochpunkt!

Einsetzen in E(x):

$E(4,5)=-{\frac {1}{3}}*4,5^{2}+3*4,5$

$=6,75$

Unser Erlösmaximum liegt also bei (4,5|6,75)

Break Even Point

Hier suchen wir den Punkt, an dem die Kosten der Herstellung genauso groß sind wie der Erlös aus dem Verkauf. Wir suchen also den Schnittpunkt der Kostenfunktion K(x) und der Erlösfunktion E(x).

Wir rechnen also:

K(x) = E(x)

Alternativ kann man aber auch:

Die Gewinnfunktion G(x) gleich null setzen

oder

die folgende Formel verwenden: Break Even Point (BEP) = Fixkosten / (Deckungsbeitrag (=Verkaufspreis - variable Kosten))

Beispiel 1

Kostenfunktion $K(x)=59400+0,6x$

Erlösfunktion $E(x)=1,5x$

$59400+0,6x=1,5x|-0,6x$

$59400=0,9x|:0,9$

$x=66000$

Der Break Even Punkt liegt also bei x = 66000. Ab diesem Punkt machen wir mit jedem weiteren verkauften Produkt Profit, davor können wir nicht kostendeckend arbeiten.

Beispiel 2

Gewinnfunktion $G(x)=2x-12800$

$2x-12800=0|+12800$

$2x=12800|:2$

$x=6400$

Betriebsminimum

Das wird jetzt etwas aufwendiger:

Das Betriebsminimum ist der Tiefpunkt der variablen Stückkostenfunktion. Wir müssen also zuerst mal ein paar Funktionen herleiten.

Beispiel

Kostenfunktion $K(x)=1,5x^{3}-5x^{2}+20x+4$

Das sind jetzt aber die Gesamtkosten, wir brauchen nur die variablen Kosten.

Herleitung:

Lösung: Wir streichen die Konstante(n) aus der Funktion raus - denn die stellen die Fixkosten dar.

Also ist die variable Kostenfunktion:

$K_{V}(x)=1,5x^{3}-5x^{2}+20x$

Aber Vorsicht: Das sind die variablen Kosten, wir brauchen die variablen Stückkosten.

Dafür teilen wir das Ganze nochmal durch x:

$k_{V}(x)={\frac {1,5x^{3}-5x^{2}+20x}{x}}=1,5x^{2}-5x+20$

Jetzt können wir weitermachen:)

Ableitung:

$k_{V}(x)=1,5x^{2}-5x+20$

$k_{V}'(x)=3x-5$

Machen wir doch gleich beide:

$k_{V}''(x)=3$

Extrempunkt berechnen:

$3x-5=0|+5$

$3x=5|:3$

$x={\frac {5}{3}}$

Extrempunkt überprüfen:

$k_{V}''({\frac {5}{3}})=3$ -> Ergebnis ist > 0 -> Tiefpunkt!

Das Betriebsminimum liegt also bei $x={\frac {5}{3}}$

Bonus: Kurzfristige Preisuntergrenze

Das Ergebnis jetzt noch in die ursprüngliche variable Stückkostenfunktion einzusetzen (also den y-Wert des Tiefpunktes zu bestimmen) ergibt die sogenannte kurzfristige Preisuntergrenze (KPU):

$k_{V}({\frac {5}{3}})=1,5*({\frac {5}{3}})^{2}-5*({\frac {5}{3}})+20$

$=15,83KPU$

Alternativer Rechenweg

Das Betriebsminimum lässt sich auch noch auf andere Art berechnen, nämlich wie folgt:

1. Die variable Stückkostenfunktion bestimmen (siehe oben)
2. Die Grenzkostenfunktion bestimmen (Kostenfunktion K(x) einmal ableiten).
3. Die beiden Funktionen gleichsetzen.
4. Das Ergebnis (der Schnittpunkt der Funktionen) ist das Betriebsminimum.

Betriebsoptimum

Betriebsoptimum = Tiefpunkt der Stückkostenfunktion k(x) (Achtung: NICHT die normale Kostenfunktion, sondern die Stückkosten).

Wir müssen also meistens zuerst die Stückkostenfunktion bestimmen. Dazu einfach die normale Kostenfunktion durch x teilen (siehe weiter unten!).

Diese Funktion dann ableiten und den Tiefpunkt bestimmen (= 0 setzen und das Ergebnis überprüfen).

Beispiel

Kostenfunktion $K(x)=1,5x^{3}-5x^{2}+20x+4$

Herleitung:

Stückkosten $k(x)={\frac {K(x)}{x}}$

$k(x)={\frac {1,5x^{3}-5x^{2}+20x+4}{x}}=1,5x^{2}-5x+20+{\frac {4}{x}}$

Ableitung:

$k(x)=1,5x^{2}-5x+20+{\frac {4}{x}}$

$k'(x)=3x-5-{\frac {4}{x^{2}}}$

Extrempunkt berechnen:

$3x-5-{\frac {4}{x^{2}}}=0|*x^{2}$

$3x^{3}-5x^{2}-4=0$

Ach nee, ich habe jetzt wirklich keine Lust hier eine Polynomdivision oder ein Horner-Schema hinzumalen. Wer möchte kann das an dieser Stelle gerne einmal machen, aber ich werde jetzt mit dem Ergebnis fortfahren.

$x=2$

Extrempunkt überprüfen:

$k''(x)=3+{\frac {8}{x^{3}}}$

$k''(2)=3+{\frac {8}{2^{3}}}=3+1=4$ -> Ergebnis ist > 0 -> Tiefpunkt!

Das Betriebsoptimum liegt hier also bei x = 2.

Höchstpreis

Hier suchen wir den Preis, den wir maximal für ein Produkt verlangen können (in Geldeinheiten). Zumindest theoretisch, denn kaufen würde es laut der Funktion zu diesem Preis genau niemand.

Wir suchen also den Schnittpunkt der Preis-Absatz-Funktion p(x) mit der y-Achse.

Wir setzen in p(x) für x also 0 ein und berechnen das Ganze.

Beispiel

Preis-Absatz-Funktion $p(x)=-{\frac {4}{5}}x+12$

$p(0)=-{\frac {4}{5}}*0+12=12$

In diesem Beispiel ist der Höchstpreis also 12 GE.

Sättigungsmenge

Hier suchen wir die Menge eines Produkts (in Produkteinheiten), die wir maximal verkaufen (oder hier eher verschenken) können.

Wir suchen hier den/die Nullpunkt(e) der Preis-Absatz-Funktion p(x).

Wir setzen die Funktion also = 0 und rechnen.

Beispiel

Preis-Absatz-Funktion $p(x)=-{\frac {4}{5}}x+12$

$-{\frac {4}{5}}x+12=0|-12$

$-{\frac {4}{5}}x=-12|:-{\frac {4}{5}}$

$x=15$

Wir können also insgesamt maximal 15 PE (zu einem Preis von 0 GE) in diesem Markt verkaufen.

Durchschnitte

Durchschnittskosten / Stückkosten

Kostenfunktion geteilt durch x:

Durchschnittskosten / Stückkosten $k(x)={\frac {K(x)}{x}}$

Durchschnittserlöse

Erlösfunktion geteilt durch x:

Durchschnittserlöse $e(x)={\frac {E(x)}{x}}$

Nachschlagewerke

• Gewinnmaximum - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=9gAh2fV_hqQ&list=PLF29x0idI4lWR4hTAimmQKtQP2-448tF9&index=3
• Erlösmaximum - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=WPwvZ041EQA&list=PLF29x0idI4lWR4hTAimmQKtQP2-448tF9&index=3
• Höchstpreis/Sättigungsmenge - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=mBkexCT8b2U&list=PLF29x0idI4lWR4hTAimmQKtQP2-448tF9&index=2
• Break Even - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=JtXeRG1RfL4&list=PLF29x0idI4lWR4hTAimmQKtQP2-448tF9&index=6
• Betriebsminimum - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=sxWydQIJIhM&list=PLF29x0idI4lWR4hTAimmQKtQP2-448tF9&index=5
• Betriebsoptimum - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=etVt2MbfRzk&list=PLF29x0idI4lWR4hTAimmQKtQP2-448tF9&index=8
• Gewinnzone - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=6XLfscth8gk&list=PLF29x0idI4lWR4hTAimmQKtQP2-448tF9&index=7
• Monopolrechnungen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=N8v93ZstMTQ
• Monopolrechnungen 2 - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=awb7Vgfc2cE