Monopol und Wettbewerb

Kommen wir mal wieder in den Bereich der "klassischen" Mathematik. Ähh, ich meine natürlich Ökonomie.

Monopol

Bekanntlich kann ein Monopolist entweder den Preis oder die angebotene Menge - aber nicht beides! - innerhalb seines Marktes bestimmen.

Wie können mögliche Aufgaben also aussehen? Machen wir doch mal eine:

"Ein Monopolist, der seinen Gewinn maximiert, produziert ein Gut x mit der Kostenfunktion K = 1+ x^2 und bietet es auf einem Markt mit der Preisabsatzfunktion p = 20 – x an.

Bestimmen sie rechnerisch die gewinnmaximale Absatzmenge und den gewinnmaximalen Preis."

Das alles kommt einem ein bisschen bekannt vor, also bitte:

Wir erinnern uns: Gewinn ist Erlös - Kosten und Erlös wiederum ist die Preisabsatzfunktion * x.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(x)=p(x)*x=(20-x)*x=20x-x^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x)=E(x)-K(x)=20x-x^2-(1+x^2)=20x-x^2-1-x^2=20x-2x^2-1}

Um das Gewinnmaximum zu bestimmen gilt es jetzt das Ganze abzuleiten und dann gleich 0 zu setzen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x)=20x-2x^2-1}

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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20-4x=0}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=5}

Das wäre die gewinnmaximale Absatzmenge. Das jetzt noch in die Preisabsatzfunktion einsetzen...

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...und schon haben wir auch den gewinnmaximalen Preis. Leicht, oder?

Alternativ funktioniert das Ganze aber auch anhand der Grundregel Grenzerlöse = Grenzkosten (E'=K').

Wir leiten die Erlös- und die Kostenfunktion also jeweils einmal ab...

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(x)=20x-x^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E'(x)=20-2x}

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...und setzen sie dann gleich:

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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=5}

Das Ergebnis ist das Gleiche.

Polypol

Modifizieren wir Aufgabe oben mal etwas und berechnen das Ganze unter den Bedingungen eines freien Marktes:

"b) Unterstellen Sie alternativ, der Markt könne auch von 100 kleinen Anbietern versorgt werden, die alle nach Gewinnmaximierung streben und sich als Mengenanpasser verhalten. Jeder der Anbieter produziere das Gut x mit der gleichen individuellen Kostenfunktion K_i = 0,1 + 100x^2_i wobei x_i die vom Anbieter i hergestellte Menge ist.

b1) Ermitteln Sie rechnerisch die Gesamtangebotsfunktion aller Anbieter und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise graphisch. (Hinweis: Bedenken Sie, dass für Mengenanpasser im Gewinnmaximum gilt Preis = Grenzkosten).

b2) Wie hoch ist die von allen Anbietern insgesamt abgesetzte Menge und der Preis im Marktgleichgewicht?"

Hier wird es jetzt schon etwas verklausulierter (haha).