BWL-Mathe

Aus Rainmaker Wiki

Alles über die Berechnung von Preisen, Gewinnmaxima, Sättigungsmengen, etc.

By the way: Hier wird überall von monopolartigen Unternehmen ausgegangen!

Grundsätzliches

Grundsätzlich gibt es bei derlei BWL-bezogenen Aufgaben immer 4 Funktionen (ja, einfach nur ganz gewöhnliche Funktionen):

Eine Kostenfunktion K(x), die die Kosten pro erzeugter Einheit eines Produkts darstellt.

Eine Preis-Absatz-Funktion p(x), die den erzielbaren Preis bei einer bestimmten Menge (x) eines Produkts abbildet.

Eine Erlösfunktion E(x), die den Erlös (a.k.a. Umsatz) aus dem Verkauf einer Einheit eines Produkts darstellt.

Und eine Gewinnfunktion G(x), die den letztendlichen Gewinn - also Umsatz minus Kosten - aus dem Verkauf eines Produkts modelliert.

x ist bei all diesen Funktionen übrigens die Anzahl der hergestellten/verkauften Produkte.

Herleitung

Meistens sind diese Funktionen nicht alle gegeben. Kein Problem, wirklich wichtig sind eigentlich nur die Kosten- und die Preis-Absatz-Funktion, da sich aus Diesen die beiden anderen Funktionen herleiten lassen:

Die Erlösfunktion ist nichts anderes als die Preis-Absatz-Funktion multipliziert mit x:

E(x) = p(x) * x

Ähnliches gilt bei der Gewinnfunktion:

Wie eben schon erwähnt ist der Gewinn ja nichts anderes als der Umsatz (pardon, die Erlöse) abzüglich der Kosten:

G(x) = E(x) - K(x)

Alles, was in solchen Aufgaben drankommen kann ist jetzt einfach nur spielen mit diesen Funktionen.

In meinen Beispielen sind die Anfangsfunktionen schon gegeben. Es kann aber durchaus sein, dass man die sich aus dem Text erst selbst herleiten muss (immer dran denken: x ist die Anzahl der Produkte).

Gewinnzone

Hier gilt es zunächst die Gewinnfunktion G(x) zu bestimmen (falls nicht schon vorhanden) und anschließend ihre Nullstellen zu berechnen. Das Intervall zwischen der linken und der rechten Nullstelle (bzw. 0 falls die linke Nullstelle negativ sein sollte) ist dann die Gewinnzone.

Beispiel

Kostenfunktion: K(x) = 3x + 11,5

Preis-Absatz-Funktion: p(x) = -0,5x + 15

Erlösfunktion bestimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(x) = p(x) * x}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = (-0,5x + 15)*x}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = -0,5x^2+ 15x}

Gewinnfunktion bestimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x) = E(x) - K(x)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = (-0,5x^2+15x)-(3x+11,5)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = -0,5x^2+15x-3x-11,5 =-0,5x^2+12x- 11,5}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x)= -0,5x^2+12x- 11,5}

Nullstellen bestimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -0,5x^2+12x-11,5 = 0} -> ABC-/PQ-Formel

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4*(-0,5)*(-11,5)}}{2* (-0,5)} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 23}}{-1} = \frac{-12 \pm 11}{-1}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = 1 , x_2 = 23}

Damit ist unsere Gewinnzone (GZ) = [1,23]

Gewinnmaximum

Gewinnmaximum = Hochpunkt der Gewinnfunktion G(x)!

Die Vorgehensweise sollte damit klar sein:

  1. Die Gewinnfunktion einmal ableiten
  2. Die Ableitung G'(x) = 0 setzen
  3. Das Ergebnis überprüfen, also:
  4. ENTWEDER die Funktion nochmal ableiten, dann das Ergebnis von eben in G''(x) einsetzen und schauen, ob das Ergebnis < 0 ist
  5. ODER jeweils einen Punkt links und rechts des Ergebnisses nehmen, diese in G'(X) einsetzen und schauen, ob das Ergebnis beim linken Punkt positiv ist und beim rechten negativ.
  6. Nach der Überprüfung den bestimmten x-Wert in die Original-Funktion einsetzen, um die zugehörige y-Koordinate zu bestimmen.
Beispiel

Kostenfunktion: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(x) = x^3 - 10x^2+40x+200}

Preis-Absatz-Funktion: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(x) =400-7x}

Erlösfunktion bestimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(x) = p(x) * x}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = (400-7x)*x}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =-7x^2+400x}

Gewinnfunktion bestimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x) = E(x) - K(x)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =(-7x^2+400x) - (x^3-10x^2+40x+200)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =-7x^2+400x -x^3+10x^2-40x-200}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =-x^3+3x^2+360x-200}

Ableiten:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x) = -x^3+3x^2+360x-200}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G'(x)=-3x^2+6x+360}

Extrempunkt berechnen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -3x^2+6x+360 = 0}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4*(-3)*360}}{2* (-3)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 4320}}{-6} = \frac{-6\pm 66}{-6}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = 12 , (x_2 = -10)}

Der Kandidat für den Hochpunkt ist also bei x = 12. Negative Extrempunkte interessieren uns in diesem Kontext nicht.

Extrempunkt überprüfen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G''(x) = -6x +6}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G''(12) = -6*12+ 6}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = -66} -> Ergebnis ist < 0 -> x=12 ist ein Hochpunkt!

Einsetzen in G(x):

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(12) = -12^3+3*12^2+360*12-200}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 2824}

Einsetzen in p(x):

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(12) = 400 - 7*12}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 316}

Das Gewinnmaximum liegt bei x = 12, also erzielt das Unternehmen bei einem Produktpreis von 316 GE den maximalen Gewinn. Dieser maximale Gewinn beträgt 2824 GE.

Erlösmaximum

Das gleiche Spiel wie eben (beim Gewinnmaximum), nur dieses Mal mit der Erlösfunktion E(x).

Kleine Anmerkung am Rande: Falls zusätzlich zum Gewinn-/Erlös-Maximum noch ein zugehöriger Preis berechnet werden soll, einfach das Ergebnis aus der Maximum-Rechnung in die Preis-Absatz-Funktion k(x) einsetzen und ausrechnen!

Beispiel

Preis-Absatz-Funktion: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(x) = -\frac{1}{3}x +3}

Erlösfunktion bestimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(x) = p(x) * x}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(x) = (-\frac{1}{3}x +3)*x}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = -\frac{1}{3}x^2 + 3x}

Ableiten:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(x) =-\frac{1}{3}x^2 + 3x}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E'(x) =-\frac{2}{3}x + 3}

Extrempunkt berechnen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\frac{2}{3}x +3 = 0 |-3}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\frac{2}{3}x = -3 |:(-\frac{2}{3})}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 4,5}

Extrempunkt überprüfen:

Mit der zweiten Ableitung in diesem Fall sehr einfach (obwohl man es auch einfach ablesen könnte):

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E''(x)= -\frac{2}{3}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E''(4,5)= -\frac{2}{3}} -> Ergebnis ist < 0 -> Hochpunkt!

Einsetzen in E(x):

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(4,5) =-\frac{1}{3}*4,5^2 + 3*4,5}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 6,75}

Unser Erlösmaximum liegt also bei (4,5|6,75)

Break Even Point

Hier suchen wir den Punkt, an dem die Kosten der Herstellung genauso groß sind wie der Erlös aus dem Verkauf. Wir suchen also den Schnittpunkt der Kostenfunktion K(x) und der Erlösfunktion E(x).

Wir rechnen also:

K(x) = E(x)

Alternativ kann man aber auch:

Die Gewinnfunktion G(x) gleich null setzen

oder

die folgende Formel verwenden: Break Even Point (BEP) = Fixkosten / (Deckungsbeitrag (=Verkaufspreis - variable Kosten))

Beispiel 1

Kostenfunktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(x) = 59400 + 0,6x}

Erlösfunktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(x) = 1,5x}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 59400 + 0,6x = 1,5x |-0,6x}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 59400 = 0,9x |:0,9}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 66000}

Der Break Even Punkt liegt also bei x = 66000. Ab diesem Punkt machen wir mit jedem weiteren verkauften Produkt Profit, davor können wir nicht kostendeckend arbeiten.

Beispiel 2

Gewinnfunktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x) = 2x - 12800}

Betriebsminimum & kurzfristige Preisuntergrenze

Das wird jetzt etwas aufwendiger:

Das Betriebsminimum ist der Tiefpunkt der variablen Stückkostenfunktion. Wir müssen also zuerst mal ein paar Funktionen herleiten.

Beispiel

Kostenfunktion

Das sind jetzt aber die Gesamtkosten, wir brauchen nur die variablen Kosten.

Herleitung:

Lösung: Wir streichen die Konstante(n) aus der Funktion raus - denn die stellen die Fixkosten dar.

Also ist die variable Kostenfunktion:

Aber Vorsicht: Das sind die variablen Kosten, wir brauchen die variablen Stückkosten.

Dafür teilen wir das Ganze nochmal durch x:

Jetzt können wir weitermachen:)

Ableitung:

Machen wir doch gleich beide:

Extrempunkt berechnen:

Extrempunkt überprüfen:

-> Ergebnis ist > 0 -> Tiefpunkt!

Das Betriebsminimum

Betriebsoptimum

Betriebsoptimum = Tiefpunkt der Stückkostenfunktion k(x) (Achtung: NICHT die normale Kostenfunktion, sondern die Stückkosten).

Wir müssen also meistens zuerst die Stückkostenfunktion bestimmen. Dazu einfach die normale Kostenfunktion durch x teilen (siehe weiter unten!).

Diese Funktion dann ableiten und den Tiefpunkt bestimmen (= 0 setzen und das Ergebnis überprüfen).

Beispiel

Höchstpreis

Hier suchen wir den Preis, den wir maximal für ein Produkt verlangen können. Zumindest theoretisch, denn kaufen würde es laut der Funktion zu diesem Preis genau niemand.

Wir suchen also den Schnittpunkt der Preis-Absatz-Funktion k(x) mit der y-Achse.

Wir setzen in p(x) für x also 0 ein und berechnen das Ganze.

Beispiel

Sättigungsmenge

Hier suchen wir die Menge eines Produkts, die wir maximal verkaufen (oder hier eher verschenken) können.

Wir suchen hier den/die Nullpunkt(e) der Preis-Absatz-Funktion k(x).

Wir setzen die Funktion also = 0 und rechnen.

Beispiel

Durchschnitte

Durchschnittskosten / Stückkosten

Kostenfunktion geteilt durch x:

Durchschnittskosten / Stückkosten

Durchschnittserlöse

Erlösfunktion geteilt durch x:

Durchschnittserlöse

Nachschlagewerke

Abgerufen von „https://wiki.felixbehrmann.de/index.php?title=BWL-Mathe&oldid=280“