Monopol und Wettbewerb
Kommen wir mal wieder in den Bereich der "klassischen" Mathematik. Ähh, ich meine natürlich Ökonomie.
Monopol
Bekanntlich kann ein Monopolist entweder den Preis oder die angebotene Menge - aber nicht beides! - innerhalb seines Marktes bestimmen.
Wie können mögliche Aufgaben also aussehen? Machen wir doch mal eine:
"Ein Monopolist, der seinen Gewinn maximiert, produziert ein Gut x mit der Kostenfunktion K = 1+ x^2 und bietet es auf einem Markt mit der Preisabsatzfunktion p = 20 – x an.
Bestimmen sie rechnerisch die gewinnmaximale Absatzmenge und den gewinnmaximalen Preis."
Das alles kommt einem ein bisschen bekannt vor, also bitte:
Wir erinnern uns: Gewinn ist Erlös - Kosten und Erlös wiederum ist die Preisabsatzfunktion * x.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(x)=p(x)*x=(20-x)*x=20x-x^2}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x)=E(x)-K(x)=20x-x^2-(1+x^2)=20x-x^2-1-x^2=20x-2x^2-1}
Um das Gewinnmaximum zu bestimmen gilt es jetzt das Ganze abzuleiten und dann gleich 0 zu setzen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x)=20x-2x^2-1}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G'(x)=20-4x}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20-4x=0}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=5}
Das wäre die gewinnmaximale Absatzmenge. Das jetzt noch in die Preisabsatzfunktion einsetzen...
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(5)=20-5=15}
...und schon haben wir auch den gewinnmaximalen Preis. Leicht, oder?
Alternativ funktioniert das Ganze aber auch anhand der Grundregel Grenzerlöse = Grenzkosten (E'=K').
Wir leiten die Erlös- und die Kostenfunktion also jeweils einmal ab...
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...und setzen sie dann gleich:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20-2x=2x}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=5}
Das Ergebnis ist das Gleiche.
Polypol
Modifizieren wir Aufgabe oben mal etwas und berechnen das Ganze unter den Bedingungen eines freien Marktes:
"b) Unterstellen Sie alternativ, der Markt könne auch von 100 kleinen Anbietern versorgt werden, die alle nach Gewinnmaximierung streben und sich als Mengenanpasser verhalten. Jeder der Anbieter produziere das Gut x mit der gleichen individuellen Kostenfunktion K_i = 0,1 + 100x^2_i wobei x_i die vom Anbieter i hergestellte Menge ist.
b1) Ermitteln Sie rechnerisch die Gesamtangebotsfunktion aller Anbieter und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise graphisch. (Hinweis: Bedenken Sie, dass für Mengenanpasser im Gewinnmaximum gilt Preis = Grenzkosten).
b2) Wie hoch ist die von allen Anbietern insgesamt abgesetzte Menge und der Preis im Marktgleichgewicht?"
Hier wird es jetzt schon etwas verklausulierter (haha).
