Kostendifferenzierung

Differenzieren wir mal Kosten, einfach so zur Entspannung, rein sozial...

Grundsätzliches

(Ich darf - wie schon so oft - an dieser Stelle auf meine BWL-Mathe page verweisen? Die werden wir hier mal wieder brauchen)

Bei dem vielleicht recht einschüchternden Begriff der Kostendifferenzierung geht es in der Praxis um die gute, alte Funktionsrechnung: x ausrechnen, Funktionen gleichsetzen, Funktionen ableiten, etc..

Ausgegangen wird dieses Mal von 2 Funktionen:

Gesamtkostenfunktion (oder einfach Kostenfunktion) K: $K=K_{F}+x*k_{V}$

wobei:

K_F = Fixkosten

x = Anzahl der hergestellten Produkte

K_V = variable Kosten pro Stück

Betriebsergebnisfunktion (a.k.a. Gewinnfunktion) G: $G=p*x-K$

(Wir sparen uns hier den Zwischenschritt über die Erlösfunktion E)

wobei:

p = Verkaufspreis pro Stück

x = Anzahl der verkauften Produkte

K = Gesamtkostenfunktion (hier unbedingt auf die Vorzeichen achten!)

Soviel dazu. Haben wir doch alles schon hundert Mal gemacht. Ab an die Aufgaben.

Praxis

Beispiel 1

Die Schraube, Hut und Pfusch AG produziert eines ihrer Produkte unter den folgenden Bedingungen:

Fixkosten K_F: 1.000.000 EUR

Kosten pro Stück K_V: 250 EUR

Stückpreis p: 1.500 EUR

Geplante Absatzmenge x: 1.000 Stück

Werden mehr als 1.100 Stück produziert entstehen zusätzliche Fixkosten in Höhe von 200.000 EUR.

a) Bitte Kostenfunktion, Erlösfunktion und Gewinnfunktion/Betriebsergebnisfunktion aufstellen.

b) Wie hoch ist der Gewinn/das Betriebsergebnis, falls die geplante Absatzmenge erreicht wird?

c) Wie verändert sich der Gewinn, wenn der Preis um 5% gesenkt, die Absatzmenge aber um 20% erhöht wird?

d) Wie hoch muss der Preis bei einer Absatzmenge von genau 1.100 Stück sein, um einen Gewinn von 400.000 EUR zu erzielen?

Dann mal los:

a)

Kostenfunktion:

$K=250x+1.000.000$

Erlösfunktion:

$E=1500x$

Gewinnfunktion/Betriebsergebnisfunktion:

$G=1500x-250x-1.000.000$

Leicht, oder?

b)

Einfach die Absatzmenge anstelle von x einsetzen:

$G=1500*1000-250*1000-1.000.000$

$G=250.000\mathrm {\euro}$

Der Gewinn beträgt also 250.000 EUR.

c)

Jetzt ändern sich einige Beträge in der Gewinnfunktion:

$G=(1500*0,95)*1200-250*1200-1.000.000-200.000$

(Nicht vergessen: Bei mehr als 1.100 verkauften Produkten fallen nochmal 200.000 EUR Fixkosten an!)

$G=1425*1200-250*1200-1.200.000$

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=210.000}

Hier muss man kurz nachdenken, aber das sollte auch machbar sein, oder?

d)

Okay, jetzt gilt es die Funktion umzustellen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 400.000=1100p-250*1100-1.000.000}

(Achtung: Die zusätzlichen Fixkosten fallen erst an, wenn mehr als 1100 Stück produziert werden)

Einmal nach p auflösen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 400.000=1100p-250*1100-1.000.000}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 400.000=1100p-1.275.000} |+1.275.000

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1.675.000=1100p} |/1100

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=1522,73}

Der Stückpreis muss also 1.522,73 EUR betragen.