Monopol und Wettbewerb: Unterschied zwischen den Versionen
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...und schon haben wir auch den gewinnmaximalen Preis. Leicht, oder? | ...und schon haben wir auch den gewinnmaximalen Preis. Leicht, oder? | ||
Alternativ funktioniert das Ganze aber auch anhand der '''Grundregel Grenzerlöse = Grenzkosten''' (E'=K'). | |||
Wir leiten die Erlös- und die Kostenfunktion also jeweils einmal ab... | |||
<math>E(x)=20x-x^2</math> | |||
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...und setzen sie dann gleich: | |||
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Das Ergebnis ist wie man sieht das Gleiche. | |||
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Hier wird es jetzt schon etwas verklausulierter (haha). | Hier wird es jetzt schon etwas verklausulierter (haha). | ||
===== '''Gesamtangebotsfunktion''' ===== | |||
Also: '''Im Polypol entspricht der Preis eines Produktes den Grenzkosten'''. Wir leiten zur Bestimmung der Grenzkostenfunktion '''<u>eines</u> Anbieters''' also erst mal die Kostenfunktion ab: | |||
<math>K_i(x_i)=0,1+100x_i^2</math> | |||
<math>K_i'(x_i)=200x_i</math> | |||
Jetzt können wir daraus die Angebotsfunktion eines Anbieters ableiten: | |||
<math>p=200x_i</math> ''(Preis=Grenzkosten!)'' | |||
''Einmal umstellen:'' | |||
<math>x_i=\frac{1}{200}p</math> | |||
Das ist die Angebotsfunktion <u>eines</u> Anbieters. Für die '''Angebotsfunktion von allen Anbietern''' müssen wir die jetzt noch '''mit der Anzahl der Anbieter multiplizieren''': | |||
<math>x=\frac{1}{200}p*100=\frac{100}{200}p=\frac{1}{2}p</math> | |||
===== '''Menge und Preis im Marktgleichgewicht''' ===== | |||
'''Im Marktgleichgewicht gilt''' (wir '''[[Marktgleichgewicht|erinnern]]''' uns)''': Angebot = Nachfrage.''' Wir '''setzen''' also unsere '''Angebotsfunktion von eben mit der Nachfragefunktion''' - a.k.a Preisabsatzfunktion - aus Teil a) '''gleich''' und gucken mal was passiert:) | |||
<math>20-p=\frac{1}{2}p</math> |+p | |||
<math>20=1,5p</math> | :1,5 | |||
<math>p \approx 13,33</math> | |||
Damit hätten wir den Preis im Gleichgewicht. Den jetzt noch in die Preisabsatzfunktion einsetzen: | |||
<math>13,33=20-x</math> | |||
<math>x\approx6,67</math> | |||
Und damit haben wir auch die Menge. | |||
Aktuelle Version vom 2. Juli 2025, 14:42 Uhr
Kommen wir mal wieder in den Bereich der "klassischen" Mathematik. Ähh, ich meine natürlich Ökonomie.
Monopol
Bekanntlich kann ein Monopolist entweder den Preis oder die angebotene Menge - aber nicht beides! - innerhalb seines Marktes bestimmen.
Wie können mögliche Aufgaben also aussehen? Machen wir doch mal eine:
"Ein Monopolist, der seinen Gewinn maximiert, produziert ein Gut x mit der Kostenfunktion K = 1+ x^2 und bietet es auf einem Markt mit der Preisabsatzfunktion p = 20 – x an.
Bestimmen sie rechnerisch die gewinnmaximale Absatzmenge und den gewinnmaximalen Preis."
Das alles kommt einem ein bisschen bekannt vor, also bitte:
Wir erinnern uns: Gewinn ist Erlös - Kosten und Erlös wiederum ist die Preisabsatzfunktion * x.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(x)=p(x)*x=(20-x)*x=20x-x^2}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x)=E(x)-K(x)=20x-x^2-(1+x^2)=20x-x^2-1-x^2=20x-2x^2-1}
Um das Gewinnmaximum zu bestimmen gilt es jetzt das Ganze abzuleiten und dann gleich 0 zu setzen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x)=20x-2x^2-1}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G'(x)=20-4x}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20-4x=0}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=5}
Das wäre die gewinnmaximale Absatzmenge. Das jetzt noch in die Preisabsatzfunktion einsetzen...
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(5)=20-5=15}
...und schon haben wir auch den gewinnmaximalen Preis. Leicht, oder?
Alternativ funktioniert das Ganze aber auch anhand der Grundregel Grenzerlöse = Grenzkosten (E'=K').
Wir leiten die Erlös- und die Kostenfunktion also jeweils einmal ab...
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(x)=20x-x^2}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E'(x)=20-2x}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K'(x)=2x}
...und setzen sie dann gleich:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20-2x=2x}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=5}
Das Ergebnis ist wie man sieht das Gleiche.
Polypol
Modifizieren wir Aufgabe oben mal etwas und berechnen das Ganze unter den Bedingungen eines freien Marktes:
"b) Unterstellen Sie alternativ, der Markt könne auch von 100 kleinen Anbietern versorgt werden, die alle nach Gewinnmaximierung streben und sich als Mengenanpasser verhalten. Jeder der Anbieter produziere das Gut x mit der gleichen individuellen Kostenfunktion K_i = 0,1 + 100x^2_i wobei x_i die vom Anbieter i hergestellte Menge ist.
b1) Ermitteln Sie rechnerisch die Gesamtangebotsfunktion aller Anbieter und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise graphisch. (Hinweis: Bedenken Sie, dass für Mengenanpasser im Gewinnmaximum gilt Preis = Grenzkosten).
b2) Wie hoch ist die von allen Anbietern insgesamt abgesetzte Menge und der Preis im Marktgleichgewicht?"
Hier wird es jetzt schon etwas verklausulierter (haha).
Gesamtangebotsfunktion
Also: Im Polypol entspricht der Preis eines Produktes den Grenzkosten. Wir leiten zur Bestimmung der Grenzkostenfunktion eines Anbieters also erst mal die Kostenfunktion ab:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_i'(x_i)=200x_i}
Jetzt können wir daraus die Angebotsfunktion eines Anbieters ableiten:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=200x_i} (Preis=Grenzkosten!)
Einmal umstellen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i=\frac{1}{200}p}
Das ist die Angebotsfunktion eines Anbieters. Für die Angebotsfunktion von allen Anbietern müssen wir die jetzt noch mit der Anzahl der Anbieter multiplizieren:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=\frac{1}{200}p*100=\frac{100}{200}p=\frac{1}{2}p}
Menge und Preis im Marktgleichgewicht
Im Marktgleichgewicht gilt (wir erinnern uns): Angebot = Nachfrage. Wir setzen also unsere Angebotsfunktion von eben mit der Nachfragefunktion - a.k.a Preisabsatzfunktion - aus Teil a) gleich und gucken mal was passiert:)
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20-p=\frac{1}{2}p} |+p
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20=1,5p} | :1,5
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p \approx 13,33}
Damit hätten wir den Preis im Gleichgewicht. Den jetzt noch in die Preisabsatzfunktion einsetzen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 13,33=20-x}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\approx6,67}
Und damit haben wir auch die Menge.
