Monopol und Wettbewerb

Kommen wir mal wieder in den Bereich der "klassischen" Mathematik. Ähh, ich meine natürlich Ökonomie.

Monopol

Bekanntlich kann ein Monopolist entweder den Preis oder die angebotene Menge - aber nicht beides! - innerhalb seines Marktes bestimmen.

Wie können mögliche Aufgaben also aussehen? Machen wir doch mal eine:

"Ein Monopolist, der seinen Gewinn maximiert, produziert ein Gut x mit der Kostenfunktion K = 1+ x^2 und bietet es auf einem Markt mit der Preisabsatzfunktion p = 20 – x an.

Bestimmen sie rechnerisch die gewinnmaximale Absatzmenge und den gewinnmaximalen Preis."

Das alles kommt einem ein bisschen bekannt vor, also bitte:

Wir erinnern uns: Gewinn ist Erlös - Kosten und Erlös wiederum ist die Preisabsatzfunktion * x.

$E(x)=p(x)*x=(20-x)*x=20x-x^{2}$

$G(x)=E(x)-K(x)=20x-x^{2}-(1+x^{2})=20x-x^{2}-1-x^{2}=20x-2x^{2}-1$

Um das Gewinnmaximum zu bestimmen gilt es jetzt das Ganze abzuleiten und dann gleich 0 zu setzen:

$G(x)=20x-2x^{2}-1$

$G'(x)=20-4x$

$20-4x=0$

$x=5$

Das wäre die gewinnmaximale Absatzmenge. Das jetzt noch in die Preisabsatzfunktion einsetzen...

$p(5)=20-5=15$

...und schon haben wir auch den gewinnmaximalen Preis. Leicht, oder?

Alternativ funktioniert das Ganze aber auch anhand der Grundregel Grenzerlöse = Grenzkosten (E'=K').

Wir leiten die Erlös- und die Kostenfunktion also jeweils einmal ab...

$E(x)=20x-x^{2}$

$E'(x)=20-2x$

$K'(x)=2x$

...und setzen sie dann gleich:

$20-2x=2x$

$x=5$

Das Ergebnis ist wie man sieht das Gleiche.

Polypol

Modifizieren wir Aufgabe oben mal etwas und berechnen das Ganze unter den Bedingungen eines freien Marktes:

"b) Unterstellen Sie alternativ, der Markt könne auch von 100 kleinen Anbietern versorgt werden, die alle nach Gewinnmaximierung streben und sich als Mengenanpasser verhalten. Jeder der Anbieter produziere das Gut x mit der gleichen individuellen Kostenfunktion K_i = 0,1 + 100x^2_i wobei x_i die vom Anbieter i hergestellte Menge ist.

b1) Ermitteln Sie rechnerisch die Gesamtangebotsfunktion aller Anbieter und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise graphisch. (Hinweis: Bedenken Sie, dass für Mengenanpasser im Gewinnmaximum gilt Preis = Grenzkosten).

b2) Wie hoch ist die von allen Anbietern insgesamt abgesetzte Menge und der Preis im Marktgleichgewicht?"

Hier wird es jetzt schon etwas verklausulierter (haha).

Gesamtangebotsfunktion

Also: Im Polypol entspricht der Preis eines Produktes den Grenzkosten. Wir leiten zur Bestimmung der Grenzkostenfunktion eines Anbieters also erst mal die Kostenfunktion ab:

$K_{i}(x_{i})=0,1+100x_{i}^{2}$

$K_{i}'(x_{i})=200x_{i}$

Jetzt können wir daraus die Angebotsfunktion eines Anbieters ableiten:

$p=200x_{i}$ (Preis=Grenzkosten!)

Einmal umstellen:

$x_{i}={\frac {1}{200}}p$

Das ist die Angebotsfunktion eines Anbieters. Für die Angebotsfunktion von allen Anbietern müssen wir die jetzt noch mit der Anzahl der Anbieter multiplizieren:

$x={\frac {1}{200}}p*100={\frac {100}{200}}p={\frac {1}{2}}p$

Menge und Preis im Marktgleichgewicht

Im Marktgleichgewicht gilt (wir erinnern uns): Angebot = Nachfrage. Wir setzen also unsere Angebotsfunktion von eben mit der Nachfragefunktion - a.k.a Preisabsatzfunktion - aus Teil a) gleich und gucken mal was passiert:)

$20-p={\frac {1}{2}}p$ |+p

$20=1,5p$ | :1,5

$p\approx 13,33$

Damit hätten wir den Preis im Gleichgewicht. Den jetzt noch in die Preisabsatzfunktion einsetzen:

$13,33=20-x$

$x\approx 6,67$

Und damit haben wir auch die Menge.