Monopol und Wettbewerb

Kommen wir mal wieder in den Bereich der "klassischen" Mathematik. Ähh, ich meine natürlich Ökonomie.

Monopol

Bekanntlich kann ein Monopolist entweder den Preis oder die angebotene Menge - aber nicht beides! - innerhalb seines Marktes bestimmen.

Wie können mögliche Aufgaben also aussehen? Machen wir doch mal eine:

"Ein Monopolist, der seinen Gewinn maximiert, produziert ein Gut x mit der Kostenfunktion K = 1+ x^2 und bietet es auf einem Markt mit der Preisabsatzfunktion p = 20 – x an.

Bestimmen sie rechnerisch die gewinnmaximale Absatzmenge und den gewinnmaximalen Preis."

Das alles kommt einem ein bisschen bekannt vor, also bitte:

Wir erinnern uns: Gewinn ist Erlös - Kosten und Erlös wiederum ist die Preisabsatzfunktion * x.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(x)=p(x)*x=(20-x)*x=20x-x^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x)=E(x)-K(x)=20x-x^2-(1+x^2)=20x-x^2-1-x^2=20x-2x^2-1}

Um das Gewinnmaximum zu bestimmen gilt es jetzt das Ganze abzuleiten und dann gleich 0 zu setzen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x)=20x-2x^2-1}

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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20-4x=0}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=5}

Das wäre die gewinnmaximale Absatzmenge. Das jetzt noch in die Preisabsatzfunktion einsetzen...

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(5)=20-5=15}

...und schon haben wir auch den gewinnmaximalen Preis. Leicht, oder?

Alternativ funktioniert das Ganze aber auch anhand der Grundregel Grenzerlöse = Grenzkosten (E'=K').

Wir leiten die Erlös- und die Kostenfunktion also jeweils einmal ab...

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...und setzen sie dann gleich:

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Das Ergebnis ist wie man sieht das Gleiche.

Polypol

Modifizieren wir Aufgabe oben mal etwas und berechnen das Ganze unter den Bedingungen eines freien Marktes:

"b) Unterstellen Sie alternativ, der Markt könne auch von 100 kleinen Anbietern versorgt werden, die alle nach Gewinnmaximierung streben und sich als Mengenanpasser verhalten. Jeder der Anbieter produziere das Gut x mit der gleichen individuellen Kostenfunktion K_i = 0,1 + 100x^2_i wobei x_i die vom Anbieter i hergestellte Menge ist.

b1) Ermitteln Sie rechnerisch die Gesamtangebotsfunktion aller Anbieter und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise graphisch. (Hinweis: Bedenken Sie, dass für Mengenanpasser im Gewinnmaximum gilt Preis = Grenzkosten).

b2) Wie hoch ist die von allen Anbietern insgesamt abgesetzte Menge und der Preis im Marktgleichgewicht?"

Hier wird es jetzt schon etwas verklausulierter (haha).

Gesamtangebotsfunktion

Also: Im Polypol entspricht der Preis eines Produktes den Grenzkosten. Wir leiten zur Bestimmung der Grenzkostenfunktion eines Anbieters also erst mal die Kostenfunktion ab:

$K_{i}(x_{i})=0,1+100x_{i}^{2}$

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_i'(x_i)=200x_i}

Jetzt können wir daraus die Angebotsfunktion eines Anbieters ableiten:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=200x_i} (Preis=Grenzkosten!)

Einmal umstellen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i=\frac{1}{200}p}

Das ist die Angebotsfunktion eines Anbieters. Für die Angebotsfunktion von allen Anbietern müssen wir die jetzt noch mit der Anzahl der Anbieter multiplizieren:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=\frac{1}{200}p*100=\frac{100}{200}p=\frac{1}{2}p}

Menge und Preis im Marktgleichgewicht

Im Marktgleichgewicht gilt (wir erinnern uns): Angebot = Nachfrage. Wir setzen also unsere Angebotsfunktion von eben mit der Nachfragefunktion - a.k.a Preisabsatzfunktion - aus Teil a) gleich und gucken mal was passiert:)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20-p=\frac{1}{2}p} |+p

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20=1,5p} | :1,5

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Damit hätten wir den Preis im Gleichgewicht. Den jetzt noch in die Preisabsatzfunktion einsetzen:

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Und damit haben wir auch die Menge.